Question

【题目】在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA（如图1）.

（1）求证：∠BAD=∠EDC；

（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM.

①依题意将图2补全；

②小姚通过观察、实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA=AM，小姚把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：要证明DA=AM，只需证△ADM是等边三角形；

想法2：连接CM，只需证明△ABD≌△ACM即可.

请你参考上面的想法，帮助小姚证明DA=AM（一种方法即可）.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质，得出∠E＝∠DAC，根据等边三角形的性质，得出∠BAD＋∠DAC＝∠E＋∠EDC＝60°，据此可得出∠BAD＝∠EDC；

（2）①根据轴对称作图即可；②要证明DA＝AM，只需根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，证△ADM是等边三角形即可.

解：（1）如图1，∵DE＝DA，

∴∠E＝∠DAC，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠CAB＝∠DCA＝60°，

即∠BAD＋∠DAC＝∠E＋∠EDC＝60°，

∴∠BAD＝∠EDC；

（2）①补全图形如图2；

由轴对称可得，DM＝DE，∠EDC＝∠MDC，

∵DE＝DA，

∴DM＝DA，

由（1）可得，∠BAD＝∠EDC，

∴∠MDC＝∠BAD，

∵△ABD中，∠BAD＋∠ADB＝180°∠B＝120°，

∴∠MDC＋∠ADB＝120°，

∴∠ADM＝180°120°＝60°，

∴△ADN是等边三角形，

∴AD＝AM.