Question

已知x₁，x₂是关于工的方程x²-3x+m=0两个不相等的实数根，设S=x₁²+x₂²．
（1）求S关于m的函数解析式，并求自变量m的取值范围；
（2）当函数值S=7时，求x₁³+8x₂的值．

Answer 1

（1）由题意，得：x₁+x₂=3，x₁x₂=m；
∴S=x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=9-2m；
由于原方程有两个不相等的实数根，故△=9-4m＞0，即m＜

9

4

；
即S=9-2m（m＜

9

4

）；
（2）当S=7时，9-2m=7，即m=1；
此时x₁+x₂=3，x₁x₂=1；
∴x₁³+8x₂=x₁³+（x₁²+x₂²+x₁x₂）x₂
=x₁³+x₁²x₂+x₂³+x₁x₂²
=x₁³+x₂³+x₁+x₂
=（x₁+x₂）（x₁²-x₁x₂+x₂²）+x₁+x₂
=（x₁+x₂）（x₁²+x₂²-x₁x₂+1）
=3×（7-1+1）=21．