Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）如果∠BAC=60°，AE=，求AC长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD,先证明OD∥AE，再利用DE⊥AE得到DE⊥OD，然后根据切线的判定定理得到结论.

（2）作OF⊥AC，可求出∠DAE=30°，根据矩形的性质得到OF=DE=4，在根据勾股定理求得AF，AC=2AF即可求得结果.

解： （1）证明：连接OD，如图

∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，

∴∠BAD=∠DAC;

∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA,

∴∠ODA=∠DAC;

∴OD∥AE;

∵DE⊥AE，

∴DE⊥OD，OD 为半径;

∴DE是⊙O的切线；

（2）解：作OF⊥AC于F，

∵∠BAC=60°，∴∠DAE=30°;

在Rt△ADE中，;

四边形ODEF为矩形，

∴OF=DE=4;

在Rt△OAF中，∵∠OAF=60°，

∴;

∴AC=2AF=.