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2.已知:一元二次方程$\frac{1}{2}$x2+kx+k-$\frac{1}{2}$=0.
(1)对于任意实数k,判断方程的根的情况,并说明理由
(2)设k<0,当二次函数y=$\frac{1}{2}$x2+kx+k-$\frac{1}{2}$的图象与x轴的两个交点A、B间的距离为4时,求k的值.

分析 (1)根据函数与方程的关系,求出△的值,根据△的数值判定解的情况.
(2)根据二次函数图象与x轴的两个交点的距离公式解答即可.

解答 解:(1)方程总有两个实数根;
∵△=k2-4×$\frac{1}{2}$×(k-$\frac{1}{2}$)=k2-2k+1=(k-1)2≥0,
∴关于x的一元二次方程$\frac{1}{2}$x2+kx+k-$\frac{1}{2}$=0.,不论k为何实数时,此方程总有两个实数根;
(2)令y=0,则x2+2kx+2k-1=0.
∵xA+xB=-2k,xA•xB=2k-1,
∴|xA-xB|=$\sqrt{({x}_{A}+{x}_{B})^{2}-4{x}_{A}{x}_{B}}$=$\sqrt{4{k}^{2}-8k+4}$=2|k-1|=4,即|k-1|=2,
解得k=3(不合题意,舍去),或k=-1.
∴k=-1.

点评 本题主要考查了二次函数与方程的联系,抛物线与x轴的交点坐标以及根的判别式的运用,灵活利用两点之间的距离公式解决问题.

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