Question

9．如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB边，BC边上，且DE⊥AF于点G，H为线段DG上一点，连接AH，BH，BH交AF于点l，若∠GAH=45°，GI=1．正方形ABCD边长为4，则△AHD面积为$\sqrt{7}$-1．

Answer 1

分析 延长DE到M，使得GM=GH，连接AM、BM，作BN⊥AF于N．由△MAB≌△HAD，推出DH=BM，∠ABM=∠ADE，由∠AED=∠MEB，推出∠EMB=∠EAD=90°，推出∠HGI=∠HMB=90°，推出GI∥BM，由MG=GH，推出HI=BI，由∠GIH=∠BIN，∠HGI=∠BNI=90°，推出△GHI≌△BNI，推出GI=IN=1，易证四边形BMGN是矩形，推出BM=GN=2，推出DH=BM=2，设AG=GH=x，在Rt△ADG中根据AD²=AG²+DG²，可得4²=x²+（x+2）²，解方程即可．

解答 解：延长DE到M，使得GM=GH，连接AM、BM，作BN⊥AF于N．

∵AG⊥HM，GM=HG，
∴AH=AM，
∵AG=GH=GM，
∴∠MAH=90°，
∴∠MAH=∠DAB，
∴∠MAB=∠HAD，
在△AMB和△AHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AH}\\{∠MAB=∠HAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△MAB≌△HAD，
∴DH=BM，∠ABM=∠ADE，
∵∠AED=∠MEB，
∴∠EMB=∠EAD=90°，
∴∠HGI=∠HMB=90°，
∴GI∥BM，
∵MG=GH，
∴HI=BI，
∵∠GIH=∠BIN，∠HGI=∠BNI=90°，
∴△GHI≌△BNI，
∴GI=IN=1，易证四边形BMGN是矩形，
∴BM=GN=2，
∴DH=BM=2，设AG=GH=x，
在Rt△ADG中，∵AD²=AG²+DG²，
∴4²=x²+（x+2）²，
解得x=-1+$\sqrt{7}$或-1-$\sqrt{7}$（舍弃），
∴S_△ADH=$\frac{1}{2}$•DH•AG=$\frac{1}{2}$×2×（-1+$\sqrt{7}$）=$\sqrt{7}$-1．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用勾股定理构建方程，属于中考填空题中的压轴题．