分析 (1)先利用一次函数解析式确定C(0,2),然后把C点坐标代入y=a(x-1)(x-4)中求出a即可;
(2)如图1,过点D、E分别作y轴、x轴的平行线,两线相交于点F,先解方程$\frac{1}{2}$(x-1)(x-4)=0得A(1,0),B(4,0),再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2,设E(m,$\frac{1}{2}$m2-$\frac{5}{2}$m+2),EF=n,则D(m-n,-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$n+2),则DF=-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$n+2-($\frac{1}{2}$m2-$\frac{5}{2}$m+2)=-$\frac{1}{2}$m2+2m+$\frac{1}{2}$n,接着证明Rt△OCA∽Rt△FDE,利用相似比得到$\frac{DF}{EF}$=2,则-$\frac{1}{2}$m2+2m+$\frac{1}{2}$n=2n,所以n=-$\frac{1}{3}$m2+$\frac{4}{3}$m,利用勾股定理得DE=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$m2+$\frac{4\sqrt{5}}{3}$m,然后根据二次函数的性质解决问题;
(3)利用两点间的距离公式得到AC=$\sqrt{5}$,BC=2$\sqrt{5}$,再利用点D为BC的中点得到D(2,1),CD=$\sqrt{5}$,易得直线AC的解析式为y=-2x+2,接着求出直线DE的解析式为y=-2x+5,
于是解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+2}\\{y=-2x+5}\end{array}\right.$得E(3,-1),所以DE=$\sqrt{5}$,然后根据菱形的判定方法可判断四边形CAED为菱形.
解答 解:(1)当x=0时,y=kx+2=2,则C(0,2),
把C(0,2)代入y=a(x-1)(x-4)得a•(-1)•(-4)=2,解得a=$\frac{1}{2}$,
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$(x-1)(x-4),即y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+2;
故答案为y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+2;
(2)如图1,过点D、E分别作y轴、x轴的平行线,两线相交于点F,
当y=0时,$\frac{1}{2}$(x-1)(x-4)=0,解得x1=1,x2=4,则A(1,0),B(4,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把C(0,2),B(4,0)代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$,
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2,
设E(m,$\frac{1}{2}$m2-$\frac{5}{2}$m+2),EF=n,则D(m-n,-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$n+2),
∴DF=-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$n+2-($\frac{1}{2}$m2-$\frac{5}{2}$m+2)=-$\frac{1}{2}$m2+2m+$\frac{1}{2}$n,
∵OC∥DF,
∴∠OCB=∠FDB,
∵DE∥CA,
∴∠ACB=∠EDB,
∴∠OCA=∠FDE,
∴Rt△OCA∽Rt△FDE,
∴$\frac{DF}{OC}$=$\frac{EF}{OA}$,
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{2}{1}$=2,
∴-$\frac{1}{2}$m2+2m+$\frac{1}{2}$n=2n,
∴n=-$\frac{1}{3}$m2+$\frac{4}{3}$m,
在Rt△DEF中,DE=$\sqrt{E{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$EF=$\sqrt{5}$n=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$m2+$\frac{4\sqrt{5}}{3}$m,
∵DE=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$(m-2)2+$\frac{4\sqrt{5}}{3}$,
∴当m=2时,DE的长有最大值,最大值为$\frac{4\sqrt{5}}{3}$;
(3)四边形CAED为菱形.理由如下:
AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$,BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$,
∵点D为BC的中点,
∴D(2,1),CD=$\sqrt{5}$,
易得直线AC的解析式为y=-2x+2,
设直线DE的解析式为y=-2x+p,
把D(2,1)代入得1=-4+p,解得p=4,
∴直线DE的解析式为y=-2x+5,
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+2}\\{y=-2x+5}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=9}\end{array}\right.$,则E(3,-1),
∴DE=$\sqrt{(2-3)^{2}+(1+1)^{2}}$=$\sqrt{5}$,
∴AC=DE,
而AC∥DE,
∴四边形CAED为平行四边形,
∵CA=CD,
∴四边形CAED为菱形.
点评 本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的判定;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质,记住两点间的距离公式.
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