精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
8.如图,抛物线y=a(x-1)(x-4)与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧),与x轴相交于点C,点D在线段CB上(点D不与B、C重合),过点D作CA的平行线,与抛物线相交于点E,直线BC的解析式为y=kx+2.
(1)抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+2;
(2)求线段DE的最大值;
(3)当点D为BC的中点时,判断四边形CAED的形状,并加以证明.

分析 (1)先利用一次函数解析式确定C(0,2),然后把C点坐标代入y=a(x-1)(x-4)中求出a即可;
(2)如图1,过点D、E分别作y轴、x轴的平行线,两线相交于点F,先解方程$\frac{1}{2}$(x-1)(x-4)=0得A(1,0),B(4,0),再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2,设E(m,$\frac{1}{2}$m2-$\frac{5}{2}$m+2),EF=n,则D(m-n,-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$n+2),则DF=-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$n+2-($\frac{1}{2}$m2-$\frac{5}{2}$m+2)=-$\frac{1}{2}$m2+2m+$\frac{1}{2}$n,接着证明Rt△OCA∽Rt△FDE,利用相似比得到$\frac{DF}{EF}$=2,则-$\frac{1}{2}$m2+2m+$\frac{1}{2}$n=2n,所以n=-$\frac{1}{3}$m2+$\frac{4}{3}$m,利用勾股定理得DE=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$m2+$\frac{4\sqrt{5}}{3}$m,然后根据二次函数的性质解决问题;
(3)利用两点间的距离公式得到AC=$\sqrt{5}$,BC=2$\sqrt{5}$,再利用点D为BC的中点得到D(2,1),CD=$\sqrt{5}$,易得直线AC的解析式为y=-2x+2,接着求出直线DE的解析式为y=-2x+5,
于是解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+2}\\{y=-2x+5}\end{array}\right.$得E(3,-1),所以DE=$\sqrt{5}$,然后根据菱形的判定方法可判断四边形CAED为菱形.

解答 解:(1)当x=0时,y=kx+2=2,则C(0,2),
把C(0,2)代入y=a(x-1)(x-4)得a•(-1)•(-4)=2,解得a=$\frac{1}{2}$,
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$(x-1)(x-4),即y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+2;
故答案为y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+2;

(2)如图1,过点D、E分别作y轴、x轴的平行线,两线相交于点F,
当y=0时,$\frac{1}{2}$(x-1)(x-4)=0,解得x1=1,x2=4,则A(1,0),B(4,0),
设直线BC的解析式为y=kx+b,
把C(0,2),B(4,0)代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$,
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2,
设E(m,$\frac{1}{2}$m2-$\frac{5}{2}$m+2),EF=n,则D(m-n,-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$n+2),
∴DF=-$\frac{1}{2}$m+$\frac{1}{2}$n+2-($\frac{1}{2}$m2-$\frac{5}{2}$m+2)=-$\frac{1}{2}$m2+2m+$\frac{1}{2}$n,
∵OC∥DF,
∴∠OCB=∠FDB,
∵DE∥CA,
∴∠ACB=∠EDB,
∴∠OCA=∠FDE,
∴Rt△OCA∽Rt△FDE,
∴$\frac{DF}{OC}$=$\frac{EF}{OA}$,
∴$\frac{DF}{EF}$=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{2}{1}$=2,
∴-$\frac{1}{2}$m2+2m+$\frac{1}{2}$n=2n,
∴n=-$\frac{1}{3}$m2+$\frac{4}{3}$m,
在Rt△DEF中,DE=$\sqrt{E{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$EF=$\sqrt{5}$n=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$m2+$\frac{4\sqrt{5}}{3}$m,
∵DE=-$\frac{\sqrt{5}}{3}$(m-2)2+$\frac{4\sqrt{5}}{3}$,
∴当m=2时,DE的长有最大值,最大值为$\frac{4\sqrt{5}}{3}$;

(3)四边形CAED为菱形.理由如下:
AC=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$,BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$,
∵点D为BC的中点,
∴D(2,1),CD=$\sqrt{5}$,
易得直线AC的解析式为y=-2x+2,
设直线DE的解析式为y=-2x+p,
把D(2,1)代入得1=-4+p,解得p=4,
∴直线DE的解析式为y=-2x+5,
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+2}\\{y=-2x+5}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=9}\end{array}\right.$,则E(3,-1),
∴DE=$\sqrt{(2-3)^{2}+(1+1)^{2}}$=$\sqrt{5}$,
∴AC=DE,
而AC∥DE,
∴四边形CAED为平行四边形,
∵CA=CD,
∴四边形CAED为菱形.

点评 本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的判定;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质,记住两点间的距离公式.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

18.如果a=255,b=344,c=433,那么b>c>a.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

19.下面命题中,真命题的个数有(  )
①对角线相等的四边形是矩形     ②矩形的四个角都是直角,并且对角线相等
③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形    ④一组对角相等且这组对角被对角线平分的四边形是菱形.
A.0个B.1个C.2个D.3个

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

16.比较大小 $\frac{\sqrt{5-1}}{2}$>0.5.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

3.如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(-3,0)、B(1,0)两点,与y轴交于点C,其顶点为D,连接AD,点P事线段AD上一个动点(不与A、D重合),过点P作y轴的垂线PE,垂足点为E,连接AE.
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)如果P点的坐标为(x,y),△PAE的面积为S,求S与x之间的函数关系式,直接写出自变量x的取值范围,并求出S的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S取到最大值时,过点P作x轴的垂线PF,垂足为F,连接EF,把△PEF沿直线EF折叠,点P的对应点为点P′,求出P′的坐标,并判断P′是否在该抛物线上.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

13.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABOC为平行四边形,A、B的坐标分别为(-3,3),(-4,0).若有一双曲线y=$\frac{k}{x}$的图象经过点C,则这条双曲线的表达式为y=$\frac{3}{x}$.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

20.如图,直线y=$\frac{1}{2}$x+1与y轴交于A点,过点A的抛物线y=-$\frac{5}{4}$x2+bx+c与直线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0).
(1)直接写出抛物线的解析式;
(2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动,过点P作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N,设点P移动的时间为t秒,MN的长度为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O,点C重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平行四边形?对于所求的t值,平行四边形BCMN是否菱形?请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

17.若mn=6,m+n=5,则(m-3)(n-3)的值为0.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

18.在平面直角坐标系中,点P(-1,2)沿x轴向右平移3个单位长度得到的点的坐标为(2,2).

查看答案和解析>>

同步练习册答案