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(2003•镇江)已知抛物线y=-x2+(k+1)+3,当x<1时,y随着x的增大而增大,当x>1时,y随着x的增大而减小.
(1)求k的值及抛物线的解析式;
(2)设抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左边),抛物线的顶点为P,试求出A、B、P三点的坐标,并在下面的直角坐标系中画出这条抛物线;
(3)求经过P、A、B三点的圆的圆心O‘的坐标;
(4)设点G(0,m)是y轴的一个动点.
①当点G运动到何处时,直线BG是⊙O‘的切线并求出此时直线BG的解析式;
②若直线BG与⊙O‘相交,且另一交点为D,当m满足什么条件时,点D在x轴的下方.
【答案】分析:(1)根据题意可知抛物线的对称轴为x=1,根据对称轴的公式即可求出k的值,也就能求出抛物线的解析式.
(2)根据(1)得出的抛物线的解析式即可求出A、B、P的坐标.
(3)由于圆和抛物线都是轴对称图形,因此圆心O′必在AB的垂直平分线即抛物线的对称轴上,因此可作出抛物线的对称轴设对称轴与x轴和圆O′的交点分别为M、N.根据相交弦定理即可求出MN的长,进而可求出圆的半径和圆心O′的坐标.
(4)①可先过B作圆O′的切线,交y轴于G,要求出直线BG的解析式,就必须求出G点的坐标,首先要求出OG的长,可设直线BO′交y轴于E,根据B,O′两点的坐标可求出直线BO′的解析式进而可求出E点的坐标,即OE的长,在直角三角形EBG中,根据射影定理即可求出OG的长,得出G点坐标后,可用待定系数法求出直线BG的解析式.
②根据①中G点的坐标即可得出本题的结论.
解答:解:(1)由题意可知:=1,k=1.
因此抛物线的解析式为y=-x2+2x+3

(2)A(-1,0),B(3,0),P(1,4)

(3)根据圆和抛物线的对称性可知:
圆心O′在AB的垂直平分线即抛物线的对称轴上,
设抛物线的对称轴交x轴于M,交⊙O′于N,则有:PM•MN=MA•MB,
∴4•MN=2×2,即MN=1,
因此PN=5,圆O′的半径为2.5.
因此O′在x轴的上方,坐标为(1,).

(4)①过B作⊙O′的切线交y轴于G,
设直线BO′交y轴于E,
可求得直线BO′的解析式为y=-x+
因此E点的坐标为(0,).
∵BG是⊙O′的切线,因此BO′⊥BG,
∴BO2=EO•OG,即9=•OG,
因此OG=4,即G点的坐标为(0,-4)
设直线BG的解析式为y=kx-4.由于直线过B点(3,0),
可得:3k-4=0,k=
因此直线BG的解析式为y=x-4
②-4<m<0.
点评:本题着重考查了二次函数的性质、圆的性质、相交弦定理、切线的判定、直线与圆的位置关系等重要知识点,综合性强,考查学生数形结合的数学思想方法.
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