Question

8．问题提出
某商店经销《超能陆战队》超萌“小白”（图1）玩具，“小白”玩具每个进价60元．为进行促销，商店制定如下“优惠”方案：如果一次销售数量不超过10个，则销售单价为100元/个；如果一次销售数量超过10个，每增加一个，所有“小白”玩具销售单价降低1元/个，但单价不得低于80元/个．一次销售“小白”玩具的单价y（元/个）与销售数量x（个）之间的函数关系如图2所示．
（1）求m的值并解释射线BC所表示的实际意义；
（2）写出该店当一次销售x个时，所获利润w（元）与x（个）之间的函数关系式；
（3）店长经过一段时间的销售发现：即并不是销量越大利润越大（比如，卖25个赚的钱反而比卖30个赚的钱多）．为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把原来的最低单价80（元/个）至少提高到多少元/个？

Answer 1

分析 （1）利用价格变化规律，进而求出m的值，然后根据解析式解释线段AB所表示的实际优惠销售政策即可；
（2）分类讨论：当0＜x≤10时，当10＜n≤30时；当n＞30时，分别得出等式；
（3）配方W=-x²+50x得到W=-（x-25）²+625，根据二次函数的性质讨论增减性，可得卖25个赚的钱反而比卖30个赚的钱多．为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到85元．

解答 解：（1）由题意可得：m=（100-80）+10=30，
射线BC所表示的实际意义是：当一次销售数量超过30个以后，都是按单价80元/个销售；

（2）当0＜x≤10时，
w=（100-60）x=40x，
当10＜x≤30时，y=100-（x-10）=110-x，
w=[100-（x-10）-60]x=-x²+50x，
当x＞30时，w=（80-60）x=20x；

（3）当10＜x≤30时，w=-x²+50x=-（x-25）²+625．
①当10＜x≤25时，w随x的增大而增大，即卖的个数越多，利润越大．
②当25＜x≤30时，w随x的增大而减小，即卖的个数越多，利润越小．
当x=25时，售价为y=110-x=85（元）．   
故为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店家应把最低价每个80元至少提高到每个85元．

点评 本题考查了二次函数的应用：先得到二次函数的顶点式y=a（x-h）²+k，当a＜0，x=h时，y有最大值k；当a＞0，x=h时，y有最小值k；也考查了二次函数的增减性以及利用待定系数法求函数的解析式．熟练的运用二次函数的增减性质是解决问题的关键．