Question

一副斜边相等的直角三角板（∠DAC=45°，∠BAC=30°），按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形．
（1）A，B，C，D四点在同一个圆上吗？如果在，请写出证明过程；如果不在，请说明理由；
（2）过点D作直线l∥AC，求证：l是这个圆的切线．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得AC的中点O到ABCD四点距离相等，故A，B，C，D四点在同一个圆上；（2）要证l是这个圆的切线，只需证明OD⊥l即可，根据等腰直角三角形的性质易得OD⊥AC，而l∥AC，易得证明．
解答：（1）解：A，B，C，D四点在同一个圆上．
证明：取AC的中点O，连接OD，OB，（2分）
∵△ABC和△ADC是直角三角形，
∴OB=OD=AC=OA=OC，（4分）
∴A，B，C，D四点在⊙O上．（5分）

（2）证明：∵Rt△ADC中，∠DAC=45°，
∴△DAC是等腰三角形，（7分）
∴OD⊥AC．（8分）
∵l∥AC，
∴OD⊥l，（9分）
∴l是⊙O的切线．（10分）
点评：本题考查多点共圆的证明及切线的判定．