Question

正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE=b（b＜2a），且边AD和AE在同一直线上．小明发现：当b=a时，如图①，在BA上选取中点G，连接FG和CG，裁掉△FAG和△CBG的位置构成正方形FGCH．
（1）类比小明的剪拼方法，请你就图②和图③两种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．
（2）要使（1）中所剪拼的新图形是正方形，须满足

BG

AE

=

 

Answer 1

分析：（1）观察图①，此题的作图依据是将△FAG旋转到△FDH的位置，而△BCG旋转到DCH的位置，可据此进行作图．
（2）图①的结论显然易见；图②③中，可根据b、a、AG、BG的大小关系来解答．

解答：解：（1）如图所示：

（2）如图，
∵△FAE是等腰直角三角形，
∴∠FAE=∠FEA=45°，
∴∠FAB=∠FEH=135°，
∵∠AFG+∠GFE=∠HFE+∠GFH=90°，
∴∠AFG=∠HFE，
在△FAG与△FEH中，

∠FAG=∠FEH AF=EF ∠AFG=∠HFE

∴△FAG≌△FEH，
同理可证，△BGC≌△DHC；
得：BG=DH，AG=EH；
由于AE+EH-DH=AD，即b+AG-BG=a，而AG+BG=a；
∴2BG=b，即

BG

AE

=

1

2

．

点评：此题主要考查的是图形的旋转变换以及正方形的性质，理解旋转前后的图形是全等形，是解决此类问题的关键．