Question

14．如图，已知直线y=-$\frac{3}{4}$x+1分别交x轴、y轴于点A、B，M是x轴正半轴上一动点，并以每秒1个单位的速度从O点向x轴正方向运动，过点M作x轴的垂线l，与抛物线y=x²-$\frac{5}{2}$x-2交于点P，与直线AB交于点Q，连结BP，经过t秒时，△PBQ是以BQ为腰的等腰三角形，则t的值是2或$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$或$\frac{31}{8}$．

Answer 1

分析 分三种情形①当点Q在点P上方时，由BQ=PQ．②当点P在点Q上方时，由BQ=PQ．③当点P在点Q上方时，BQ=BP时．分别列出方程解决问题．

解答 解：∵M（t，0），B（0，1），则Q（t，-$\frac{3}{4}$t+1），P（t，t²-$\frac{5}{2}$t-2），
①当点Q在点P上方时，由BQ=PQ得$\frac{5}{4}$t=-$\frac{3}{4}$t+1-t²+$\frac{5}{2}$t+2，解得t=2或-$\frac{3}{2}$（舍弃）．
②当点P在点Q下方时，由BQ=PQ得$\frac{5}{4}$t=t²-$\frac{5}{2}$t-2+$\frac{3}{4}$t-1，解得t=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{21}}{2}$（舍弃）．
③当点P在点Q上方时，BQ=BP时，可得$\frac{-\frac{3}{4}t+1+{t}^{2}-\frac{5}{2}t-2}{2}$=1，解得t=4或-$\frac{3}{4}$（舍弃），
综上所述t为2或$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$或4时，△PBQ是以BQ为腰的等腰三角形．
故答案为2或$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$或4．

点评 本题考查二次函数、一次函数、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．