分析 （1）作梯形的高，得到矩形和两个直角三角形，根据勾股定理求解；
（2）由梯形的面积公式，列方程求解；
（3）当点Q在边AB上，△APQ是等边三角形，高QM=AQ•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以S△AQP=$\frac{1}{2}$AP•QM=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t2；
当点Q在把BC上，S△AQP=$\frac{1}{2}$t$•\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t；
当点Q在边CD上，∠QPD=90°，求出高PQ，所以S△AQP=$\frac{1}{2}$AP•PQ=$\frac{1}{2}$•t$•\frac{\sqrt{3}}{2}$（8-2t）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t2+2$\sqrt{3}$t；
（4）以PQ为直径的圆和梯形ABCD的底相切，所以PQ⊥AD，根据（1）的结论得出当3≤t＜4时，以PQ为直径的圆和梯形ABCD的底相切．
解答 解：（1）如图1
过点B作BE⊥AD于E，过点C作CP⊥AD于P，
∴四边形BEPC是矩形，
∵AB=BC=CD=2，AD=4，
∴PE=2，AE=DP=1，
∴∠A=∠D=60°，
∵△PQD为直角三角形，
∴∠QPD=90°即QP⊥AD，
在Rt△QPD中，
（4-t）2+${（\sqrt{3}）}^{2}$=22，
∴t=3，
∴当3≤t＜4，△PQD为直角三角形；
（2）由题意得，若直线PQ把梯形的面积等分，则点Q只能在边BC上，（2＜t≤3），
∴S四边形QPDC=$\frac{1}{2}$S梯形ABCD，
∴$\frac{1}{2}$[（t-2）+t]•$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$（2+4）$•\sqrt{3}$，
∴t=$\frac{7}{3}$，
∴当t=$\frac{7}{3}$时，直线PQ把梯形的面积等分；
（3）如图2过点Q作QM⊥AD于M，
当0＜t≤2时，点Q在边AB上，
QM=AQ•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S△AQP=$\frac{1}{2}$AP•QM=$\frac{1}{2}$•t•$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t2，
当2＜t≤3时，点Q在把BC上，
∴S△AQP=$\frac{1}{2}$t$•\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
如图3当3＜t＜4时，点Q在边CD上，∠QPD=90°，
∴PQ=DQ•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（8=2t），
∴S△AQP=$\frac{1}{2}$AP•PQ=$\frac{1}{2}$•t$•\frac{\sqrt{3}}{2}$（8-2t）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t2+2$\sqrt{3}$t；
（4）∵PQ为直径的圆和梯形ABCD的底相切，
∴PQ⊥AD，
由（1）知：当3≤t＜4时，∠QPD=90°，
即PQ⊥AD，
∴当3≤t＜4时，以PQ为直径的圆和梯形ABCD的底相切．
点评 本题主要考查了等腰梯形的性质，梯形的面积，三角形的面积，求函数的解析式，圆与直线的位置关系等知识点应用．特别是（3）中，要根据点Q的不同位置求解．
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
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如图，正方形ABCD中，E为BD上一点，∠DCE=22.5°
在图中，猜想∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°，说明你的理由．