[问题情境]如图.在正方形ABCD中.点E是线段BG上的动点.AE⊥EF.EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．[探究展示](1)如图1.若点E是BC的中点.证明:∠BAE+∠EFC=∠DCF．(2)如图2.若点E是BC的上的任意一点.∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立?若成立.请予以证明,若不成立.请说明理由．[拓展延伸](3)如图3.若点E是BC延长线上的任意一点.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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8．【问题情境】
如图，在正方形ABCD中，点E是线段BG上的动点，AE⊥EF，EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．
【探究展示】
（1）如图1，若点E是BC的中点，证明：∠BAE+∠EFC=∠DCF．
（2）如图2，若点E是BC的上的任意一点（B、C除外），∠BAE+∠EFC=∠DCF是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，若点E是BC延长线（C除外）上的任意一点，求证：AE=EF．

分析（1）取AB的中点M，连结EM，根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，根据已知条件利用ASA判定△AME≌△ECF，利用全等三角形的性质证明即可．
（2）在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，根据已知利用ASA判定△ANE≌△ECF，利用全等三角形的性质证明即可．

解答（1）证明：取AB的中点M，连结EM，如图1：

∵M是AB的中点，E是BC的中点，
∴在正方形ABCD中，AM=EC，
∵CF是∠DCG的平分线，
∴∠BCF=135°，
∴∠AME=∠ECF=135°，
∵∠MAE=∠CEF=45°，
在△AME与△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠CEF}\\{AM=EC}\\{∠AME=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△ECF（SAS），
∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；
（2）证明：取AB上的任意一点使得AM=EC，连结EM，如图2：

∵AE⊥EF，AB⊥BC，
∴∠BAE+∠BEA=90°，∠BEA+∠CEF=90°，
∴∠MAE=∠CEF，
∵AM=EC，
∴在正方形ABCD中，BM=BE，
∴∠AME=∠ECF=135°，
在△AME与△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠CEF}\\{AM=EC}\\{∠AME=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△ECF（SAS），
∴∠BAE+∠EFC=∠FCG=∠DCF；
（3）证明：取AB延长线上的一点M使得AM=CE，如图3：

∵AM=CE，AB⊥BC，
∴∠AME=45°，
∴∠ECF=AME=45°，
∵AD∥BE，
∴∠DAE=∠BEA，
∵MA⊥AD，AE⊥EF，
∴∠MAE=∠CEF，
在△AME与△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠CEF}\\{AM=EC}\\{∠AME=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△ECF（SAS），
∴AE=EF．

点评此题主要考查全等三角形的判定和性质，关键是根据正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况．

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