Question

14．如图，点C在线段AB上（不与端点重合），点D、E在AB同侧，且AD∥CE，CD∥BE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．
求证：（1）MN∥AB；
（2）$\frac{1}{MN}=\frac{1}{AC}+\frac{1}{BC}$．

Answer 1

分析 （1）根据△ACD和△BCE是等腰直角三角形，得到∠DAC=∠ECB=45°，推出CE∥AD，即可得到结论，由△AMD∽△EMC，得到$\frac{AM}{NE}$=$\frac{AD}{CE}$，由△CND∽△ENB；得到$\frac{CN}{NE}=\frac{DC}{BE}$，等量代换得到$\frac{CN}{NE}=\frac{AM}{ME}$，即可得到结论；
（2）根据相似三角形的判定定理得到△CND∽△ENB，由相似三角形的性质得到$\frac{CN}{NE}$=$\frac{DN}{NB}$，设$\frac{CN}{NE}$=$\frac{DN}{NB}$=k，则CN=kNE，DN=kNB，根据平行线分线段成比例得到$\frac{MN}{AC}$=$\frac{NE}{CE}$=$\frac{NE}{NE+CN}$=$\frac{1}{k+1}$，$\frac{MN}{BC}$=$\frac{DN}{DB}$=$\frac{1}{k+1}$，结论得到结论．

解答 解：（1）∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形，
∴∠DAC=∠ECB=45°，
∴CE∥AD，
∴△AMD∽△EMC，
∴$\frac{AM}{NM}$=$\frac{AD}{CE}$，
∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形，
∴∠ACD=∠CBE=45°，
∴CD∥BE，
∴△CND∽△ENB；
∴$\frac{CN}{NE}$=$\frac{DC}{BE}$
∴CD=AD，BE=CE，
∴$\frac{CN}{NE}=\frac{AM}{ME}$，
∴MN∥AB；

（2）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴$\frac{CN}{NE}$=$\frac{DN}{NB}$，
设$\frac{CN}{NE}$=$\frac{DN}{NB}$=k，
则CN=kNE，DN=kNB，
∵MN∥AB，
∴$\frac{MN}{AC}$=$\frac{NE}{CE}$=$\frac{NE}{NE+CN}$=$\frac{1}{k+1}$，$\frac{MN}{BC}$=$\frac{DN}{DB}$=$\frac{1}{k+1}$，
∴$\frac{MN}{AC}$+$\frac{MN}{BC}$=1，
∴$\frac{1}{MN}$=$\frac{1}{AC}$+$\frac{1}{BC}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．