Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x﹣1）（x﹣5）（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于P点，过其顶点C作直线CH⊥x轴于点H．

（1）若∠APB＝30°，请直接写出满足条件的点P的坐标；

（2）当∠APB最大时，请求出a的值；

（3）点P、O、C、B能否在同一个圆上？若能，请求出a的值，若不能，请说明理由．

（4）若a＝ ，在对称轴HC上是否存在一点Q，使∠AQP＝∠ABP？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点P坐标为（0，）或（0，）；（2）；（3）能，a的值为；（4）点Q坐标为（3，3+）或（3，3﹣）．

【解析】

（1）作△PAB的外接圆⊙D，连接DP、DA、DB，证△ABD是等边三角形，求A（1，0），B（5，0），得DP＝DA＝AB＝4，H（3，0），得直线CH：x＝3，求出D（3，2）

设P（0，p）（p＞0），由PD2＝32+（2﹣p）2＝42，求出P的坐标；（2）作△PAB的外接圆⊙E，连接EP、EA、EB，如图2，由切线性质，得四边形OHEP是矩形，在Rt△AEH中，EH＝，求出0P得点P坐标为（0，），代入抛物线解析式可得；（3）连接PB，取PB中点F，连接FO、FC，证点P、O、B在以点F为圆心、FB的长为半径的圆上，若点C在⊙F上，则FC＝FB，由抛物线解析式y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝ax2﹣6ax+5a＝a（x﹣3）2﹣4a，得P（0，5a），C（3，﹣4a），再求F坐标，由，得，解方程可得；（4）作△PAB的外接圆⊙G，连接GP、GA，设⊙G与直线CH交于点Q，得∠AQP＝∠ABP，当a＝时，点P（0，1），设G（3，b）（b＞0），由GP＝GA，得32+（b﹣1）2＝（3﹣1）2+b2，进一步得G（3，3），GQ＝GA＝，可得点Q坐标有两种可能．

解：（1）作△PAB的外接圆⊙D，连接DP、DA、DB，如图1

∴DP＝DA＝DB，

∵C为抛物线顶点且CH⊥x轴

∴CH为抛物线对称轴，即CH垂直平分AB

∴D在直线CH上

∵∠APB＝30°

∴∠ADB＝2APB＝60°

∴△ABD是等边三角形

∵当y＝0时，a（x﹣1）（x﹣5）＝0 解得：x1＝1，x2＝5

∴A（1，0），B（5，0）

∴DP＝DA＝AB＝4，H（3，0），直线CH：x＝3

∴AH＝2，DH＝AH＝2

∴D（3，2）

设P（0，p）（p＞0）

∴PD2＝32+（2﹣p）2＝42

解得：p1＝，p2＝

∴点P坐标为（0，）或（0，）

（2）作△PAB的外接圆⊙E，连接EP、EA、EB，如图2

∵∠AEB＝2∠APB

∴∠AEB最大时，∠APB最大

∵AB＝4是定值

∴EH最小时，∠AEB最大，此时⊙E与y轴相切于点P

∴EP⊥y轴于P

∴四边形OHEP是矩形

∴PE＝OH＝3

∴EA＝PE＝3

∴Rt△AEH中，EH＝

∴OP＝EH＝

∴点P坐标为（0，），代入抛物线解析式得：5a＝

∴a＝

（3）点P、O、C、B能在同一个圆上．

连接PB，取PB中点F，连接FO、FC

∵∠POB＝90°

∴OF＝PF＝FB＝PB

∴点P、O、B在以点F为圆心、FB的长为半径的圆上

若点C在⊙F上，则FC＝FB

∵抛物线解析式y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝ax2﹣6ax+5a＝a（x﹣3）2﹣4a

∴P（0，5a），C（3，﹣4a）

∵B（5，0），F为PB中点

∴F

∴

∴

解得：a1＝，a2＝﹣（舍去）

∴a的值为

（4）对称轴HC上存在一点Q，使∠AQP＝∠ABP

作△PAB的外接圆⊙G，连接GP、GA，设⊙G与直线CH交于点Q

∴∠AQP＝∠ABP

当a＝时，点P（0，1）

设G（3，b）（b＞0）

∴GP2＝32+（b﹣1）2，GA2＝（3﹣1）2+b2

∵GP＝GA

∴32+（b﹣1）2＝（3﹣1）2+b2

解得：b＝3

∴G（3，3），GQ＝GA＝

∴点Q坐标为（3，3+ ）或（3，3﹣）．