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如图所示,在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AD⊥DB,AD=DC=CB,AB=4.以AB所在直线为精英家教网x轴,过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系.
(1)求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标;
(2)求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L;
(3)若P是抛物线的对称轴L上的点,那么使△PDB为等腰三角形的点P有几个?(不必求点P的坐标,只需说明理由)
分析:(1)已知AD=DC=CB,根据等边对等角,以及平行线的性质.可以得到,∠CDB=∠CBD=∠DBA.若设,∠CDB=∠CBD=∠DBA=x度,则∠ABC=2x度,∠C=90+x度.根据平行线的性质同旁内角互补,就可以求出x的值.在直角△ABD和直角△AOD中,根据三角函数,就可以求出OA、OD的长度,就可以得到A,D,C的坐标.
(2)已知A,D,C的坐标,根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式以及对称轴.
(3)△PDB为等腰三角形,应分BD是底边,和BD是腰两种情况进行讨论.而BD是腰又要分D是顶角的顶点和B是顶角的顶点两种情况进行讨论.
解答:解:(1)∵DC∥AB,AD=DC=CB,
∴∠CDB=∠CBD=∠DBA (5分)
∠DAB=∠CBA,
∴∠DAB=2∠DBA,(1分
∠DAB+∠DBA=90°,
∴∠DAB=60°(5分)
∠DBA=30°,精英家教网
∵AB=4,
∴DC=AD=2,(2分)
Rt△AOD,OA=1,OD=
3
,AD=2.(5分)
∴A(-1,0),D(0,
3
),C(2,
3
).(4分)

(2)根据抛物线和等腰梯形的对称性知,满足条件的抛物线必过点A(-1,0),B(3,0),
故可设所求为y=a(x+1)(x-3)(6分)
将点D(0,
3
)的坐标代入上式得,a=-
3
3

所求抛物线的解析式为y=-
3
3
(x+1)(x-3),(7分)
其对称轴L为直线x=1.(8分)

(3)△PDB为等腰三角形,有以下三种情况:
①因直线L与DB不平行,DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1,P1D=P1B,
△P1DB为等腰三角形;(9分)
②因为以D为圆心,DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3,DB=DP2,DB=DP3,△P2DB,△P3DB为等腰三角形;
③与②同理,L上也有两个点P4、P5,使得BD=BP4,BD=BP5.(10分)
由于以上各点互不重合,所以在直线L上,使△PDB为等腰三角形的点P有5个.
点评:本题主要考查了梯形的有关计算,以及待定系数法求函数的解析式,正确地进行讨论是解决本题的关键.
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