Question

7．解关于x的不等式|x-3|+|2x+1|＞a．

Answer 1

分析 设f（x）=|x-3|+|2x+1|，分x≤-$\frac{1}{2}$、-$\frac{1}{2}$＜x＜3、x≥3三种情况列出函数解析式，再画出分段函数的解析式，结合解析式中的折点分a＜$\frac{7}{2}$、a=$\frac{7}{2}$、$\frac{7}{2}$＜a≤7、a＞7四种情况可得不等式的解集．

解答 解：设f（x）=|x-3|+|2x+1|，
分段解析式：x≤-$\frac{1}{2}$时，f（x）=3-x-2x-1=-3x+2；
-$\frac{1}{2}$＜x＜3时，f（x）=2x+1+3-x=x+4；
x≥3时，f（x）=x-3+2x+1=3x-2；
画出f（x）的图象，为折线，折点为A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$）、B（ 3，7），

 从图可以看到，①当a＜$\frac{7}{2}$时，|x-3|+|2x+1|＞a的解集为全体实数，
 ②当a=$\frac{7}{2}$时，|x-3|+|2x+1|＞a解集为x≠-$\frac{1}{2}$，
③当$\frac{7}{2}$＜a≤7时，|x-3|+|2x+1|＞a的解集为x＜$\frac{2-a}{3}$或x＞a-4，
④当a＞7时，|x-3|+|2x+1|＞a的解集为x＜$\frac{2-a}{3}$或x＞$\frac{2+a}{3}$．

点评 本题主要考查解绝对值不等式的能力，将绝对值不等式问题转化为函数图象问题及数形结合思想的运用是解题的关键．