Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．

Answer 1

分析 （1）欲证明DE⊥AC，只需推知OD∥AC即可；
（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，构建矩形ODEH，设AH=x．则由矩形的性质推知：AE=10-x，OH=DE=8-（10-x）=x-2．在Rt△AOH中，由勾股定理知：x²+（x-2）²=10²，通过解方程得到AH的长度，结合OH⊥AF，得到AF=2AH=2×8=16．

解答 （1）证明：∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE是⊙O的切线，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；

（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD=EH，OH=DE．
设AH=x．
∵DE+AE=8，OD=10，
∴AE=10-x，OH=DE=8-（10-x）=x-2．
在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH²+OH²=OA²，即x²+（x-2）²=10²，
解得x₁=8，x₂=-6（不合题意，舍去）．
∴AH=8．
∵OH⊥AF，
∴AH=FH=$\frac{1}{2}$AF，
∴AF=2AH=2×8=16．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质．解题时，利用了方程思想，属于中档题．