如图①.在锐角△ABC中.AB=5.tanC=3．BD⊥AC于点D.BD=3.点P从点A出发.以每秒1个单位长度的速度沿AB向终点B运动．过点P作PE∥AC.交BC于点E.以PE为边作Rt△PEF.使∠EPF=90°.点F在点P的下方.且EF∥AB.设△PEF与△ABD重叠部分图形的面积为S.点P的运动时间为t．(1)求线段AC的长．(2)当△PEF与△ABD重� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．如图①，在锐角△ABC中，AB=5，tanC=3．BD⊥AC于点D，BD=3，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向终点B运动．过点P作PE∥AC，交BC于点E，以PE为边作Rt△PEF，使∠EPF=90°，点F在点P的下方，且EF∥AB，设△PEF与△ABD重叠部分图形的面积为S（平方单位）（S＞0），点P的运动时间为t（秒）（t＞0）．
（1）求线段AC的长．
（2）当△PEF与△ABD重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．
（3）若边EF与边AC交于点Q，连接PQ，如图②．
①当PQ将△PEF的面积分成1：2两部分时，求AP的长．
②直接写出PQ的垂直平分线经过△ABC的顶点时t的值．

分析（1）分别求出AD和CD的长，相加即可；
（2）当EF经过点D时，如图2，根据DE=AP=DC列式得：t=1；当F在AC边上时，如图4，由EF=CF得：t=5-$\frac{4}{5}$t，t=$\frac{25}{9}$；再分两种情况分别计算重叠四边形的面积即可；
（3）①当PQ将△PEF的面积分成1：2两部分时，要分两种情况：当S_△PQF：S_△PQE=1：2和当S_△PQF：S_△PQE=2：1时，分别代入$\frac{{S}_{△PQE}}{{S}_{△PEF}}$中列等式可求得t的值；
②分两种情况：
i）当PQ的中垂线过点A时，如图7，根据PE=PA列等式得结论，
ii）当PQ的中垂线过B时，如图8，则PB=BQ=5-t，在Rt△BQD中，列方程4²+（t-2）²=（5-t）²，解出即可．

解答解：（1）在Rt△BDC中，tan∠C=$\frac{BD}{CD}$=3，
∵BD=3，
∴CD=1，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴AC=AD+CD=4+1=5；
（2）由题意得：AP=t，
当EF经过点D时，如图2，
∵PE∥AC，EF∥AP，
∴四边形PADE是平行四边形，
∴DE=AP=t，
∵AB=AC=5，
∴∠C=∠ABC，
∵EF∥AB，
∴∠ABC=∠DEC，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC，
∴t=1；
①当0≤t≤1时，如图3，△PEF与△ABD重叠部分图形的面积为四边形PGDH的面积，
∵∠EPF=90°，PE∥AC，
∴∠PGC=90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠PGC=∠EPF=90°，
∴四边形PGDH是矩形，
在Rt△APG中，sin∠A=$\frac{BD}{AB}=\frac{PG}{AP}$，
∴$\frac{3}{5}=\frac{PG}{t}$，
∴PG=$\frac{3t}{5}$，
∴AG=$\frac{4t}{5}$，
∴GD=AD-AG=4-$\frac{4t}{5}$，
∴S=S_矩形PGDH=PG•GD=$\frac{3t}{5}$（4-$\frac{4t}{5}$）=-$\frac{12}{25}{t}^{2}$+$\frac{12}{5}t$；
②当F在AC边上时，如图4，
AF=$\frac{4}{5}$t，CF=5-$\frac{4}{5}$t
由EF=CF得：t=5-$\frac{4}{5}$t
t=$\frac{25}{9}$；
当$\frac{25}{9}$≤t≤5时，如图5，△PEF与△ABD重叠部分图形的面积为四边形PFHG的面积，
∵PE∥AC，
∴△BPE∽△BAD，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{PG}{AD}$，
∴$\frac{PG}{4}=\frac{5-t}{5}$，
∴PG=$\frac{4}{5}（5-t）$，
∵PE=PB=5-t，
∴GE=5-t-$\frac{4}{5}$（5-t）=$\frac{1}{5}$（5-t），
∵EF∥AB，
∴∠EHG=∠ABD，
∴tan∠ABD=tan∠EHG=$\frac{AD}{BD}=\frac{GE}{GH}$，
∴$\frac{4}{3}=\frac{\frac{1}{5}（5-t）}{GH}$，
∴GH=$\frac{3}{20}$（5-t），
同理得：$\frac{4}{3}=\frac{5-t}{PF}$，
PF=$\frac{3（5-t）}{4}$，
∴S=S_梯形PFHG=$\frac{1}{2}$（GH+PF）•PG=$\frac{1}{2}$[$\frac{3}{20}$（5-t）+$\frac{3}{4}$（5-t）]$•\frac{4}{5}$（5-t）=$\frac{9}{25}$（5-t）²=$\frac{9}{25}{t}^{2}-\frac{18}{5}t+9$；
（3）①PE=BP=5-t，PF=$\frac{3}{4}（5-t）$，PG=$\frac{3t}{5}$，
当S_△PQF：S_△PQE=1：2时，$\frac{{S}_{△PQE}}{{S}_{△PEF}}$=$\frac{2}{3}$，
即$\frac{\frac{1}{2}（5-t）•\frac{3}{5}t}{\frac{1}{2}（5-t）•\frac{3}{4}（5-t）}$=$\frac{2}{3}$，解得：t=$\frac{25}{11}$，AP=$\frac{25}{11}$，
当S_△PQF：S_△PQE=2：1时，$\frac{{S}_{△PQE}}{{S}_{△PEF}}$=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{\frac{1}{2}（5-t）•\frac{3}{5}t}{\frac{1}{2}（5-t）•\frac{3}{4}（5-t）}$=$\frac{1}{3}$，解得：t=$\frac{25}{17}$，AP=$\frac{25}{17}$，
则AP的长是$\frac{25}{11}$或$\frac{25}{17}$；
②分两种情况：
i）当PQ的中垂线过点A时，如图7，即AE是PQ的中垂线，
∵四边形PAQE是平行四边形，
AE⊥PQ，
∴?PAQE是菱形，
∴PE=PA，
∴t=5-t，
t=$\frac{5}{2}$，
ii）当PQ的中垂线过B时，如图8，连接EQ，则PB=BQ=5-t，
∵CQ=EQ=t，
∴QD=CQ-CD=t-2，
在Rt△BQD中，4²+（t-2）²=（5-t）²，
解得：t=$\frac{5}{6}$，
综上所述，PQ的垂直平分线经过△ABC的顶点时t的值是$\frac{5}{2}$或$\frac{5}{6}$．

点评本题是三角形的综合题，考查了动点运动问题、勾股定理、平行四边形和菱形的性质和判定、三角函数及各类图形面积的求法，比较复杂，尤其是第二问，计算重叠部分图形面积时，一要先求特殊位置时t的值，二要利用数形结合的思想，先观察图形的特点，再确定面积的求法．

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