分析 连结AC,MC,MN,由条件可以得出△ACB≌△ACD,就可以得出∠BAC=∠DAC=30°,BC=DC,由勾股定理就可以求出AC、BC、CD、CN,再证明△BMC≌△NAM,就可以得出∠B=∠ANM=90°,设NE=x,由勾股定理建立方程就可以求出结论.
解答 解:连结AC,MC,MN,
∵AB⊥BC,AD⊥CD,
∴∠B=∠D=90°
在Rt△ACB和Rt△ACD中,
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{AB=AD}\end{array}\right.$,
∴Rt△ACB≌Rt△ACD(HL),
∴∠BAC=∠DAC,CB=CD.
∵∠BAD=60°,
∴∠BAC=∠DAC=30°,
∴AC=2BC.
∵AB2+BC2=AC2,AB=3,
∴9+BC2=4BC2,
∴BC=$\sqrt{3}$.
∴CD=$\sqrt{3}$.
∵BM:AM=AN:ND=1:2,
∴设BM=a,AM=2a,AN=b,DN=2b,
∴BM=1,AM=2,AN=1,DN=2,
在Rt△CBM和Rt△CDN中,由勾股定理,得
CM=2,CN=$\sqrt{7}$.
∴CM=2BM,
∴∠BCM=30°,
∴∠BMC=60°.
∴∠BMC=∠MAN,BM=NA,CM=MA.
在△BMC和△NAM中,
$\left\{\begin{array}{l}{BM=NA}\\{∠BMC=∠MAN}\\{CM=MA}\end{array}\right.$,
∴△BMC≌△NAM(SAS),
∴BC=NM=$\sqrt{3}$.
设NE为x,则CE=$\sqrt{7}-$x,
∴22-($\sqrt{7}$-x)2=($\sqrt{3}$)2-x2,
解得:x=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$.
点评 本题考查了运用SAS,HL证明三角形全等的运用,全等三角形的性质的运用,比例的性质的运用,勾股定理的运用,解答时正确作辅助线是难点,证明三角形全等是关键.
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A. | AD<DE | B. | AD=DE | C. | AD>DE | D. | 不确定 |
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