Question

3．如图，?ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且DF=BE，连接AE，CF．
（1）求证：∠DAE=∠BCF．
（2）连接AC交于BD点O，求证：AC，EF互相平分．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ABE≌△CDF，即可推出∠DAE=∠BCF．
（2）只要证明四边形AECF为平行四边形即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABD=∠CDB，
在△ABE与△CDF中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠ABD=∠CDB}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE=∠BCF．

（2）证明：连接AO交BD于点O，连接AF、CE．
由（1）得，△ABE≌△CDF，
∴∠AED=∠CFB，AE=CF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AC、EF互相平分．

点评 本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．