Question

17．如图，平面直角坐标系内，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B，直线CD⊥AB于点D，交y轴于点E，交x轴于点C，AB=AC=10，S_△ACD=24，且B（0，8）
①求证：△AOB≌△ADC；
②求点A的坐标；
③点M为线段OA上一动点，作∠NME=∠OME，且MN交AD于点N，当点M运动时$\frac{MO+ND}{MN}$的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由CD⊥AB，x轴⊥y轴，得到∠BOA=∠CDA=90°，根据∠OBA+∠BAO=90°，∠DCA+∠DAC=90°，所以∠OBA=∠DCA，即可得到△AOB≌△ADC（AAS）．
（2）由B（0，8），所以OB=8，在Rt△AOB中，OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，所以点A的坐标为（6，0）．
（3）当点M运动时$\frac{MO+ND}{MN}$的值不变化，值为1，理由：证明Rt△BED≌Rt△CEO（AAS），得到ED=OE，如图2，过E作EP垂直于MN于P，连接EN，证明Rt△MPE≌Rt△MOE，所以EP=OE，MO=MP，得到EP=ED，再证明Rt△DEN≌Rt△EPN，得到DN=PN，所以MN=MP+PN=MO+DN，即可得到$\frac{MO+DN}{MN}$=1．

解答 解：（1）∵CD⊥AB，x轴⊥y轴，
∴∠BOA=∠CDA=90°，
∴∠OBA+∠BAO=90°，∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠OBA=∠DCA，
在△AOB和△ADC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BOA=∠CDA}\\{∠OBA=∠DCA}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△ADC（AAS）．
（2）∵B（0，8），
∴OB=8，
在Rt△AOB中，OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴点A的坐标为（6，0）．
（3）∵△AOB≌△ADC，OB=8，
∴BO=CD=8，
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•CD=$\frac{1}{2}$AD×8=24，
得AD=6，
∴DB=10-6=4，
∵点A的坐标为（6，0），AC=10，
∴OC=10-6=4，
∴BD=OC
在Rt△BED和Rt△CEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠COE=9{0}^{°}}\\{∠BED=∠CEO}\\{BD=CO}\end{array}\right.$，
∴Rt△BED≌Rt△CEO（AAS）
∴ED=OE，
如图2，过E作EP垂直于MN于P，连接EN，

∵∠NME=∠OME，
∴EP=OM，
在Rt△MPE和Rt△MOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{EP=OM}\\{EM=EM}\end{array}\right.$，
∴Rt△MPE≌Rt△MOE，
∴EP=OE，MO=MP，
∴EP=ED，
在Rt△DEN和Rt△EPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{EN=EN}\\{EP=ED}\end{array}\right.$，
∴Rt△DEN≌Rt△EPN，
∴DN=PN，
∴MN=MP+PN=MO+DN
∴$\frac{MO+DN}{MN}$=1，
∴$\frac{MO+ND}{MN}$的值是一定值等于1．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明三角形全等，根据全等三角形的性质定理得到相等的边．