Question

【题目】如图，菱形ABCD中，AB＝5，连接BD，sin∠ABD＝，点P是射线BC上一点（不与点B重合），AP与对角线BD交于点E，连接EC．

（1）求证：AE＝CE；

（2）当点P在线段BC上时，设BP＝n（0＜n＜5），求△PEC的面积；（用含n的代数式表示）

（3）当点P在线段BC的延长线上时，若△PEC是直角三角形，请直接写出BP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（0＜n＜5）；（3）线段BP的长为或15

【解析】

（1）由菱形的性质得出BA＝BC，∠ABD＝∠CBD．由SAS证明△ABE≌△CBE，即可得出结论．

（2）连结AC，交BD于点O，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EF⊥BC于F，由菱形的性质得出AC⊥BD．由三角函数求出AO＝OC＝，BO＝OD＝2．由菱形面积得出AH＝4，BH＝3．由相似三角形的性质得出＝，求出EF的长，即可得出答案．

（3）因为点P在线段BC的延长线上，所以∠EPC不可能为直角．分情况讨论：①当∠ECP＝90°时，②当∠CEP＝90°时，由全等三角形的性质和相似三角形的性质即可得出答案．

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴BA＝BC，∠ABE＝∠CBE．

在△ABE和△CBE中，，

又∵BE＝BE，

∴△ABE≌△CBE

∴AE＝CE．

（2）连接AC，交BD于点O，过点A作AH⊥BC，过点E作EF⊥BC，如图1所示，垂足分别为点H、F．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD．

∵AB＝5，sin∠ABD＝，

∴AO＝OC＝，BO＝OD＝2．

∵ACBD＝BCAH，

∴AH＝4，BH＝3．

∵AD∥BC，

∴＝，

∴＝，

∴＝，

∴＝，

∵EF∥AH，

∴＝，

∴EF＝，

∴y＝PCEF＝（5﹣n）＝（0＜n＜5）．

（3）因为点P在线段BC的延长线上，所以∠EPC不可能为直角．如图2所示：

①当∠ECP＝90°时

∵△ABE≌△CBE，

∴∠BAE＝∠BCE＝90°，

∵cos∠ABP＝＝，

∴＝，

∴BP＝；

②当∠CEP＝90°时，

∵△ABE≌△CBE，

∴∠AEB＝∠CEB＝45°，

∴AO＝OE＝，

∴ED＝，BE＝3．

∵AD∥BP，

∴＝，

∴＝，

∴BP＝15．

综上所述，当△EPC是直角三角形时，线段BP的长为或15．