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20.如图,四边形ABCD是平行四边形,四边形DFEC和BCGH是正方形.试问:线段
AC,EG有怎样的关系?并加以证明.

分析 先证∠CGE+∠GCA=90°,我们发现∠GBA+∠ACB=90°,因此证明∠CGE=∠ACB就是问题的关键,我们可通过证明三角形ABC和ECG全等来实现.

解答 解:AC=EG,AC⊥EG;理由如下:
∵四边形BCGH、EFDC为正方形,四边形ABCD为平行四边形,
∴GC∥BH,DC∥AB,∠HBC=∠ECD=90°,
∴∠HBA=∠GCD(两边分别平行的两角相等或互补),
∴∠HBC+∠HBA=∠GCD+∠ECD,即90°+∠HBA=∠GCD+90°,
∴∠GCE=∠ABC,
∴AB=DC=EC,BC=CG,
在△ABC和和△ECG中,$\left\{\begin{array}{l}{AB=EC}&{\;}\\{∠ABC=∠GCE}&{\;}\\{BC=CG}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△ABC≌△ECG(SAS),
∴∠CGE=∠ACB,AC=EG,
∵∠ACB+∠GCA=90°,
∴∠CGE+∠GCA=90°,
∴AC⊥EG.

点评 本题主要考查了正方形、平行四边形的性质,通过全等三角形来得出角相等是解题的关键.

练习册系列答案
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