Question

如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D在AB的延长线上，∠DCB=∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠D=30°，BD=10cm．求：
①⊙O的半径；
②圆中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）首先连接CO，进而得出∠CAB+∠CBA=90°，再得出∠OCB+∠BCD=90°，即可得出答案；
（2）①利用等边三角形的判定与性质得出即可；
②利用S_阴影=S_扇形AOC-S_△AOC求出即可．

解答：（1）证明：连接CO，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵∠DCB=∠A，
∴∠CBA+∠BCD=90°，
∵CO=BO，
∴∠OCB=∠CBO，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∴DC⊥CO，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：①∵∠D=30°，
∴CO=

1

2

DO，∠COD=60°，
∴△CBO是等边三角形，
∴CO=BO，
∴BD=BO=CO=10cm；

②过C作CE⊥AB，
∵CO=10cm，∠COB=60°，
∴CE=CO×sin60°=5

3

cm，∠AOC=120°，
S_阴影=S_扇形AOC-S_△AOC=

120π×102

360

-

1

2

×10×5

3

=（

100π

3

-25

3

）cm²．

点评：此题主要考查了切线的判定以及等边三角形的判定与性质和扇形面积公式等知识，得出△CBO是等边三角形是解题关键．