Question

（1）如图A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤的距离AC为1km，B工厂到河堤的距离BD为2km，经测量河堤上C、D两地间的距离为6km．现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A、B两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C地多远的地方？

（2）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想构造图形，尝试解决下面问题：若y=

x2+1

+

(9-x)2+4

，当x为何值时，y的值最小，并求出这个最小值．

Answer 1

分析：（1）先作出A点关于直线CD的对称点E，连接BE交CD于P点，由相似三角形的判定定理可得出△ACP∽△BDP，再由相似三角形的对应边成比例即可求出CP的长；
（2）根据（1）建立图形，使AC=1，CD=9，BD=2，设CP=x，再由△ACP∽△BDP即可求出CP的值，把x的值代入函数 y=

x2+1

+

(9-x)2+4

中即可求出其最小值．

解答：解：（1）延长AC到E，使CE=AC，连接EB交CD于点P，则点P就是污水处理厂所在的地方（画出图形）．

设CP=x，则DP=6-x，
由点A与点E的对称性可知∠APC=∠EPC，
又由对顶角相等可知∠BPD=∠EPC，
∴∠APC=∠BPD，
又∵∠ACP=∠BDP=90°，
∴△ACP∽△BDP，
∴

AC

BD

=

CP

DP

∴

1

2

=

x

6-x

，
解得x=2，
所以，污水厂应建在距离C地2km处；

（2）仿照（1）中建立图形，
使AC=1，CD=9，BD=2，设CP=x，
则 y=

x2+1

+

(9-x)2+4

中的

x2+1

即是图中的AP，

(9-x)2+4

即是图中的BP．
所以 y=

x2+1

+

(9-x)2+4

的最小值就是AP+BP的最小值，
仿照（1）中找到点A关于直线CD的对称点E，连接EB，与CD的交点就是所求的点P．
由△ACP∽△BDP，得

AC

BD

=

CP

DP

，
所以

1

2

=

x

9-x

，
解得x=3，
所以当x=3时，y=

x2+1

+

(9-x)2+4

有最小值，
最小值是 y=

32+1

+

(9-3)2+4

=

10

+

40

=3

10

．

点评：本题考查的是最短线路问题及利用数形结合求函数的最值，熟知轴对称的性质画出图形是解答此题的关键．