Question

9．已知△ABC的三边a、b、c，其中a、b是关于x的方程x²-（c+6）x+6c+18=0的两个根．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）已知c＞6，当c为何值时△ABC的面积最小？并求出此时的面积．

Answer 1

分析 （1）根据根与系数的关系得a+b=c+6，ab=6c+18，则（a+b）²=（c+6）²，整理可得a²+b²=c²，根据勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形；
（2）根据根的判别式的意义得到（c-6）²≥72，而c＞6，利用不等式的性质可解得c≥6+6$\sqrt{2}$，再根据三角形面积公式得到△ABC的面积=$\frac{1}{2}$•ab=3c+9，所以c=6+6$\sqrt{2}$时，△ABC的面积最小，然后把c的值代入3c+9中计算即可．

解答 解：（1）根据题意得a+b=c+6，ab=6c+18，
∵（a+b）²=（c+6）²，
∴a²+b²+2ab=c²+12c+36，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC为直角三角形，∠C=90°；
（2）∵△=（c+6）²-4（6c+18）≥0，
（c-6）²≥72，
而c＞6，
∴c≥6+6$\sqrt{2}$，
∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$•ab=$\frac{1}{2}$•（6c+18）=3c+9，
∴c=6+6$\sqrt{2}$时，△ABC的面积最小，最小值=3（6+6$\sqrt{2}$）+9=27+18$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式和勾股定理的逆定理．