Question

已知⊙O中，弦AB垂直弦CD于E．

（1）如图1，若AE=DE，求证：CE=BE；
（2）如图2，若∠AOD=140°，求∠BOC的度数；
（3）如图3，若点M为AC的中点，求证：ME⊥BD
（4）如图4，若ON⊥BD于N，求证：ON=

1

2

AC．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）连接AD、BC，如图1，根据等腰三角形的性质由AE=DE得到∠A=∠D，再根据圆周角定理得∠A=∠C，∠B=∠D，则∠C=∠B，然后根据等腰三角形的判定即可得到CE=CB；
（2）连接BC，如图2，由AB⊥CD得到∠EBC+∠ECB=90°，再根据圆周角定理得∠AOC=2∠ABC，∠BOD=2∠BCD，则∠AOC+∠BOD=2（∠ABC+∠BCD）=180°，然后利用周角的定义得到∠AOD+∠BOC=180°，所以∠BOC=180°-140°=40°；
（3）延长ME交BD于H，如图3，由AB⊥CD得到∠AEC=90°，再根据直角三角形斜边上的中线性质得AM=ME=MC，则∠A=∠MEA，而∠MEA=∠BEH，所以∠A=∠BEH，根据圆周角定理由∠C=∠B，所以利用∠A+∠C=90°得到∠BEH+∠B=90°，然后根据垂直的定义得到ME⊥BD；
（4）作OP⊥AC于P，连接OA、OC、OB、OD，如图4，由OP⊥AC，ON⊥BD，根据等腰三角形的性质得∠AOP=

1

2

∠AOC，AP=CP，∠DON=

1

2

∠BOD，在（2）中已经证明∠AOC+∠BOD=180°，则∠AOP+∠DON=90°，于是可利用等角的余角相等得到∠OAP=∠DON，然后根据“AAS”证明△OAP≌△DON，得到AP=ON，即可得到ON=

1

2

AC．

解答：证明：（1）连接AD、BC，如图1，
∵AE=DE，
∴∠A=∠D，
∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠C=∠B，
∴CE=CB；
（2）连接BC，如图2，
∵AB⊥CD，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠AOC=2∠ABC，∠BOD=2∠BCD，
∴∠AOC+∠BOD=2（∠ABC+∠BCD）=2×90°=180°，
∴∠AOD+∠BOC=360°-180°=180°，
∴∠BOC=180°-140°=40°；
（3）延长ME交BD于H，如图3，
∵AB⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∵M点AC的中点，
∴AM=ME=MC，
∴∠A=∠MEA，
而∠MEA=∠BEH，
∴∠A=∠BEH，
∵∠C=∠B，∠A+∠C=90°，
∴∠BEH+∠B=90°，
∴EH⊥BD，
即ME⊥BD；
（4）作OP⊥AC于P，连接OA、OC、OB、OD，如图4，
∵OP⊥AC，ON⊥BD，
∴∠AOP=

1

2

∠AOC，AP=CP，∠DON=

1

2

∠BOD，
由（2）得∠AOC+∠BOD=180°，
∴∠AOP+∠DON=

1

2

（∠AOC+∠BOD）=90°，
而∠AOP+∠OAP=90°，
∴∠OAP=∠DON，
在△OAP和△DON中，

∠OPA=∠DNO ∠OAP=∠DON OA=DO

，
∴△OAP≌△DON（AAS），
∴AP=ON，
∴AP=PC=ON，
∴ON=

1

2

AC．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线性质；会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题．