Question

12．【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
【初步体验】
（1）如图1，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，DE∥FC∥BC．若AD=2，AE=1，DF=6，则EG=3，$\frac{FB}{GC}$=2．
（2）如图2，在△ABC 中，点D、F在AB上，E、G在AC上，且DE∥BC∥FG．以AD、DF、FB为边构造△ADM（即AM=BF，MD=DF）；以AE、EG、GC为边构造△AEN（即AN=GC，NE=EG）．
求证：∠M=∠N．
【深入探究】
上述基本事实启发我们可以用“平行线分线段成比例”解决下列问题：
（3）如图3，已知△ABC和线段a，请用直尺与圆规作△A′B′C′．
满足：①△A′B′C′∽△ABC；②△A′B′C′的周长等于线段a的长度．（保留作图痕迹，并写出作图步骤）

Answer 1

分析 （1）只需利用基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”即可解决问题；
（2）要证∠M=∠N，只需证△AMD∽△ANE，只需证$\frac{AD}{AE}$=$\frac{DM}{EN}$=$\frac{AM}{AN}$，由于DF=DM，EG=EN，BF=AM，GC=AN，只需证$\frac{AD}{AE}$=$\frac{DF}{EG}$=$\frac{BF}{GC}$，根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”即可解决问题；
（3）借鉴图2，可进行以下操作：①延长BA到D，使得AD=AC，延长AB到E，使得BE=BC；②过点D画一条线段DF，使得DF=a，连接EF；③过点B作∠DBB′=∠DEF，交DF于点B′，过点A作∠DAA′=∠DEF，交DF于点A′，即可得到AA′∥BB′∥EF；④以点A′为圆心，A′D为半径画弧，以点B′为圆心，B′F为半径画弧，两弧交于点C′；⑤连接A′C′，B′C′，如图4，△A′B′C′即为所求作．

解答 解：（1）如图1，

∵DE∥FG∥BC，
∴$\frac{AD}{DF}=\frac{AE}{EG}$，$\frac{DF}{BF}=\frac{EG}{GC}$，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{DF}{EG}$=$\frac{BF}{GC}$．
∵AD=2，AE=1，DF=6，
∴$\frac{2}{1}$=$\frac{6}{EG}$=$\frac{BF}{GC}$，
∴EG=3，$\frac{BF}{GC}$=2．
故答案分别为：3、2；

（2）如图2，

∵DE∥FG∥BC，
∴$\frac{AD}{DF}=\frac{AE}{EG}$，$\frac{DF}{BF}=\frac{EG}{GC}$，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{DF}{EG}$=$\frac{BF}{GC}$．
∵DF=DM，EG=EN，BF=AM，GC=AN，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{DM}{EN}$=$\frac{AM}{AN}$，
∴△AMD∽△ANE，
∴∠M=∠N；

（3）步骤：
①延长BA到D，使得AD=AC，延长AB到E，使得BE=BC；
②过点D画一条线段DF，使得DF=a，连接EF；
③过点B作∠DBB′=∠DEF，交DF于点B′，过点A作∠DAA′=∠DEF，交DF于点A′；
④以点A′为圆心，A′D为半径画弧，以点B′为圆心，B′F为半径画弧，两弧交于点C′；
⑤连接A′C′，B′C′，如图4，△A′B′C′即为所求作．

点评 本题从一个基本事实（平行线分线段成比例）出发，经历初步体验、深入探究的过程，在解决问题的过程中，用到了平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、平行线的判定，考查了操作能力以及运用已有经验解决问题的能力，体现了新课程理念．