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12.【回归课本】我们曾学习过一个基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
【初步体验】
(1)如图1,在△ABC中,点D、F在AB上,E、G在AC上,DE∥FC∥BC.若AD=2,AE=1,DF=6,则EG=3,$\frac{FB}{GC}$=2.
(2)如图2,在△ABC 中,点D、F在AB上,E、G在AC上,且DE∥BC∥FG.以AD、DF、FB为边构造△ADM(即AM=BF,MD=DF);以AE、EG、GC为边构造△AEN(即AN=GC,NE=EG).
求证:∠M=∠N.
【深入探究】
上述基本事实启发我们可以用“平行线分线段成比例”解决下列问题:
(3)如图3,已知△ABC和线段a,请用直尺与圆规作△A′B′C′.
满足:①△A′B′C′∽△ABC;②△A′B′C′的周长等于线段a的长度.(保留作图痕迹,并写出作图步骤)

分析 (1)只需利用基本事实“两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例”即可解决问题;
(2)要证∠M=∠N,只需证△AMD∽△ANE,只需证$\frac{AD}{AE}$=$\frac{DM}{EN}$=$\frac{AM}{AN}$,由于DF=DM,EG=EN,BF=AM,GC=AN,只需证$\frac{AD}{AE}$=$\frac{DF}{EG}$=$\frac{BF}{GC}$,根据“两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例”即可解决问题;
(3)借鉴图2,可进行以下操作:①延长BA到D,使得AD=AC,延长AB到E,使得BE=BC;②过点D画一条线段DF,使得DF=a,连接EF;③过点B作∠DBB′=∠DEF,交DF于点B′,过点A作∠DAA′=∠DEF,交DF于点A′,即可得到AA′∥BB′∥EF;④以点A′为圆心,A′D为半径画弧,以点B′为圆心,B′F为半径画弧,两弧交于点C′;⑤连接A′C′,B′C′,如图4,△A′B′C′即为所求作.

解答 解:(1)如图1,

∵DE∥FG∥BC,
∴$\frac{AD}{DF}=\frac{AE}{EG}$,$\frac{DF}{BF}=\frac{EG}{GC}$,
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{DF}{EG}$=$\frac{BF}{GC}$.
∵AD=2,AE=1,DF=6,
∴$\frac{2}{1}$=$\frac{6}{EG}$=$\frac{BF}{GC}$,
∴EG=3,$\frac{BF}{GC}$=2.
故答案分别为:3、2;

(2)如图2,

∵DE∥FG∥BC,
∴$\frac{AD}{DF}=\frac{AE}{EG}$,$\frac{DF}{BF}=\frac{EG}{GC}$,
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{DF}{EG}$=$\frac{BF}{GC}$.
∵DF=DM,EG=EN,BF=AM,GC=AN,
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{DM}{EN}$=$\frac{AM}{AN}$,
∴△AMD∽△ANE,
∴∠M=∠N;

(3)步骤:
①延长BA到D,使得AD=AC,延长AB到E,使得BE=BC;
②过点D画一条线段DF,使得DF=a,连接EF;
③过点B作∠DBB′=∠DEF,交DF于点B′,过点A作∠DAA′=∠DEF,交DF于点A′;
④以点A′为圆心,A′D为半径画弧,以点B′为圆心,B′F为半径画弧,两弧交于点C′;
⑤连接A′C′,B′C′,如图4,△A′B′C′即为所求作.

点评 本题从一个基本事实(平行线分线段成比例)出发,经历初步体验、深入探究的过程,在解决问题的过程中,用到了平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、平行线的判定,考查了操作能力以及运用已有经验解决问题的能力,体现了新课程理念.

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