Question

12．如图1，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，其中∠C=∠EDF=90°，点A与点D重合，点E在AB上，AB=4，DE=2．如图2，△ABC保持不动，△DEF沿着线段AB从点A向点B移动，当点D与点B重合时停止移动．设AD=x，△DEF与△ABC重叠部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 要找出准确反映y与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中y随x变化的情况，由题意知，在△DEF移动的过程中，阴影部分总为等腰直角三角形；据此根据重合部分的斜边长的不同分情况讨论求解．

解答 解：由题意知：在△DEF移动的过程中，阴影部分总为等腰直角三角形．
当0＜x≤2时，此时重合部分的斜边长为x，则y=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+2）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+2）-$\frac{1}{2}$x²=-$\frac{1}{4}$x²+x+1．
当2＜x≤4时，此时重合部分的斜边长为2，则y=$\frac{1}{2}$（x-4）²；
当4＜x≤6时，此时重合部分的斜边长为2-（x-4）=6-x，则y=（6-x）×$\frac{6-x}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$x²-3x+9；
由以上分析可知，这个分段函数的图象左边为抛物线的一部分，中间为直线的一部分，右边为抛物线的一部分．
故选：B．

点评 本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很强的综合性．