Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，PA是⊙O的切线；
（1）求证：AP=AC；
（2）若PD=

3

，求⊙O的直径．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC，再由OA=OC得出∠ACO=∠OAC=30°，再由PA是⊙O的切线，得出∠P=30°，继而由∠OAP=∠C，可得出AP=AC，从而得出结论；
（2）利用含30°的直角三角形的性质求出OP=2OA，可得出OP-PD=OD，再由PD=

3

，可得出⊙O的直径．

解答：（1）证明：连接OA，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
又∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠P=∠ACP=30°，
∴∠P=∠OCA，∴AP=AC，
（2）解：在Rt△OAP中，∵∠P=30°，
∴PO=2OA=OD+PD，
又∵OA=OD，∴PD=OA，
∵PD=

3

，∴2OA=2PD=2

3

．
∴⊙O的直径为2

3

．

点评：针对含有切线的解答题，首先要想到的是作“辅助线”获得更多能够证明题目要求的条件，一般的方法为“见切点，连圆心”，通过作辅助线构造直角三角形（垂直），然后利用切线性质及直角三角形进行证明或计算，有了30°角直角三角形首先想到含30°的直角三角形的性质的运用．