Question

已知在△ABC中，已知AB=3，AC=6，BC=7，AD是∠BAC的角平分线，求证：DC=2BD．

Answer 1

考点：角平分线的性质

专题：证明题

分析：作DE∥AC，得出∠EDA=∠DAC，由于AD是∠BAC的平分线，得出∠BAD=∠DAC，进而得出∠EAD=∠EDA，根据等角对等边得出EA=ED，设DE=x，则EA=x，BE=3-x，然后根据△BDE∽△BCA对应边成比例，得出

BD

BC

=

BE

AB

=

DE

AC

，即可求得BD的值，最后根据CD=BC-BD求得CD的值，即可证得DC=2BD．

解答：证明：作DE∥AC，
∴∠EDA=∠DAC，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠EAD=∠EDA，
∴EA=ED，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴

BD

BC

=

BE

AB

=

DE

AC

设DE=x，则EA=x，
∴BE=3-x，
∴

BD

7

=

3-x

3

=

x

6

，
∴x=2，
∴BD=

7

3

，
∴CD=BC-BD=7-

7

3

=

14

3

．
∴DC=2BD．

点评：本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线，得出DE=AE是本题的关键．