Question

5．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）因为抛物线经过点B（1，0），C（5，0），可以假设抛物解析式为y=a（x-1）（x-5），把A（0，4）代入即可解决问题，对称轴根据图象即可解决．
（2）连接AC与对称轴的交点即为点P，此时△PAB周长最小．求出直线AC的解析式即可解决问题．

解答 解：（1）∵抛物线经过点B（1，0），C（5，0），
∴可以假设抛物解析式为y=a（x-1）（x-5），把A（0，4）代入得4=5a，
∴a=$\frac{4}{5}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{4}{5}$（x-1）（x-5）=$\frac{4}{5}$x²-$\frac{24}{5}$x+4．
由图象可知抛物线对称轴x=3．

（2）连接AC与对称轴的交点即为点P，此时△PAB周长最小．

设直线AC的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{5}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC解析式为y=-$\frac{4}{5}$x+4，和对称轴的交点P为（3，$\frac{8}{5}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、两点之间线段最短、一次函数、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．