Question

【题目】已知在△ABC中，∠BAC=90°，∠BAC和∠ABC的平分线交于点P

（1）如图1，在BC上取一点D，使得DB=AB，连接PD，△ABP与△DBP全等吗？为什么？

（2）在（1）的条件下，若DP=DC，则BC=AB+AP是否成立？请说明理由；

（3）如图2，在AC上取一点E，使得AE=AB，连接PE、PC，若∠ABC=60°，求∠EPC的度数．

Answer 1

【答案】（1）△ABP与△DBP全等（2）成立（3）15°

【解析】

（1）利用SAS定理证明△ABP与△DBP全等；

（2）根据全等三角形的性质得到AP=DP，AB=DB，结合图形证明即可；

（3）证明△ABP≌△AEP，根据全等三角形的性质得到∠AEP=∠ABP=∠ABC=30°，得到答案．

（1）△ABP与△DBP全等

理由如下：因为BP是∠ABC的平分线，

所以∠ABP=∠DBP．

在△ABP和△DBP中，

，

∴△ABP≌△DBP（SAS）；

（2）成立．

理由如下：由（1）知△ABP≌△DBP，

∴AP=DP，AB=DB，

∵DP=DC．

∴AP=DC．

∴BC=DB+DC=AB+AP；

（3）因为P是∠BAC和∠ABC的平分线的交点，

所以∠BAP=∠EAP，PC是∠ACB的平分线．

因为∠ABC=60°，∠BAC=90°，

所以∠ACB=90°-∠ABC=30°．

所以∠ECP=∠PCB=15°．

在△ABP和△AEP中，

，

∴△ABP≌△AEP（SAS），

∴∠AEP=∠ABP=∠ABC=30°．

∴∠AEP=∠ACB=30°．

∴EP∥CB．

∴∠EPC=∠PCB=15°．