Question

8．已知x＞y＞0．
（1）比较$\frac{x+1}{y+1}$与$\frac{x}{y}$的大小；
（2）比较$\frac{y+1}{x+1}$与$\frac{y}{x}$的大小；
（3）比较$\frac{x-1}{y-1}$与$\frac{x}{y}$的大小；
（4）比较$\frac{y-1}{x-1}$与$\frac{y}{x}$的大小．

Answer 1

分析 采用求差的方法比较两式的大小，即a-b＞0，则a＞b，（3）（4）题要对x、y与1的关系讨论．

解答 解：（1）∵x＞y＞0，
∴$\frac{x+1}{y+1}$-$\frac{x}{y}$=$\frac{xy+y-xy-x}{y（y+1）}$=$\frac{y-x}{y（y+1）}$＜0，即$\frac{x+1}{y+1}$＜$\frac{x}{y}$；
（2）∵x＞y＞0，
∴$\frac{y+1}{x+1}$-$\frac{y}{x}$=$\frac{xy+x-xy-y}{x（x+1）}$=$\frac{x-y}{x（x+1）}$＞0，即$\frac{y+1}{x+1}$＞$\frac{y}{x}$；
（3）∵x＞y＞0，
当x=1时，$\frac{x-1}{y-1}$＜$\frac{x}{y}$；
当x≠1时，$\frac{x-1}{y-1}$-$\frac{x}{y}$=$\frac{xy-y-xy+x}{y（y-1）}$=$\frac{x-y}{y（y-1）}$＞0，即$\frac{x-1}{y-1}$＞$\frac{x}{y}$；
（4））∵x＞y＞0，
当y=1时，$\frac{y-1}{x-1}$＜$\frac{y}{x}$；
当y≠1时，$\frac{y-1}{x-1}$-$\frac{y}{x}$=$\frac{xy-x-xy+y}{x（x-1）}$=$\frac{y-x}{x（x-1）}$＜0，$\frac{y-1}{x-1}$＜$\frac{y}{x}$．

点评 本题考查的是分式的大小比较，正确运用求差法是解题的关键，解答时，要正确运用分式的通分法则和分情况讨论思想．