Question

16．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜180°）得△ADE，BD和EC所在的直线相交于点O
（1）当θ=30°时，如图①，∠BOE=135度．
（2）当△ABC旋转到图②的位置时，∠BOE的度数与（1）中的结果相同吗？请写出求解过程，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图①，根据等腰直角三角形的性质得∠ABC=45°，再根据旋转的性质得∠BAD=∠CAE=30°，AB=AD，AC=AE，∠ADE=∠ABC=45°，∠AED=∠ACB=90°，则利用等腰三角形的性质得∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠AEC，然后根据三角形捏角和定理可计算出∠ADB=∠AEC=75°，根据互余计算出∠OED=15°，再利用三角形外角和性质可计算出∠BOE=∠ODE+∠OED=135°；
（2）如图②，根据旋转的性质得∠BAD=∠CAE=θ，AB=AD，AC=AE，∠ADE=∠ABC=45°，∠AED=∠ACB=90°，则利用等腰三角形的性质得∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠AEC，接着根据三角形内角和定理可计算出∠ADB=90°-$\frac{1}{2}$θ，∠AEC=90°-$\frac{1}{2}$θ，利用互余计算出∠OED=∠AED-∠AEC=$\frac{1}{2}$θ，然后利用三角形外角和性质可计算出∠BOE=∠ODE+∠OED=135°．

解答 解：（1）如图①，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵△ABC绕点A逆时针旋转30°得△ADE，
∴∠BAD=∠CAE=30°，AB=AD，AC=AE，∠ADE=∠ABC=45°，∠AED=∠ACB=90°，
∴∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠AEC，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，∠AEC=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∴∠OED=∠AED-∠AEC=90°-75°=15°，
∴∠BOE=∠ODE+∠OED=75°+45°+15°=135°，
故答案为135；
（2）∠BOE的度数与（1）中的结果相同．理由如下：
如图②，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵△ABC绕点A逆时针旋转θ得△ADE，
∴∠BAD=∠CAE=θ，AB=AD，AC=AE，∠ADE=∠ABC=45°，∠AED=∠ACB=90°，
∴∠ABD=∠ADB，∠ACE=∠AEC，
∴∠ADB=$\frac{1}{2}$（180°-θ）=90°-$\frac{1}{2}$θ，∠AEC=90°-$\frac{1}{2}$θ，
∴∠OED=∠AED-∠AEC=90°-（90°-$\frac{1}{2}$θ）=$\frac{1}{2}$θ，
∴∠BOE=∠ODE+∠OED=90°-$\frac{1}{2}$θ+45°+$\frac{1}{2}$θ=135°，
即∠BOE的度数与（1）中的结果相同．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质．