Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知AB＝AC，延长CD至点E，使CE＝BD，连结AE．

（1）求证：AD平分∠BDE；

（2）若AB∥CD，求证：AE是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析;（2）证明见解析

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质得到∠ADE=∠ADB，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠ADE=∠DAB，求得∠BAD=∠ADB，根据垂径定理得到AT⊥BC，根据平行四边形的性质得到AE∥BC，于是得到结论．

（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O

∴∠ABC＋∠ADC＝180°

∴∠ABC＝∠ADE

∵AB＝AC

∴∠ABC＝∠ACB

∵∠ACB＝∠ADB

∴∠ADB＝∠ADE

∴AD平分∠BDE

（2）解： AB∥CD，
∴∠ADE=∠DAB，

∵∠ADB=∠ADE，
∴∠BAD=∠ADB，
∴AB=BD

∵CE＝BD，
∴AB=CE

∵AC=AB，

连接OA并延长交BC于T

∴AT⊥BC，
∵AB∥CE，AB=CE
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴AE∥BC，
∴AT⊥AE，
∴AE是⊙O的切线．