如图.矩形ABCD中.AB=12.BC=43.点O是AB的中点．一动点E从O点出发.以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动.到达A点后.立即以原速度沿AO返回,另一动点F从O点出发.以每秒1个单位长度的速度沿射线OB匀速运动.点E.F同时出发.当点E到达点B时停止运动.在点E.F的运动过程中.以EF为边作等边△EFG.使△EFG和矩形ABCD在射线AB的同� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，矩形ABCD中，AB=12，BC=4

，点O是AB的中点．一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线OB匀速运动，点E、F同时出发，当点E到达点B时停止运动，在点E、F的运动过程中，以EF

为边作等边△EFG，使△EFG和矩形ABCD在射线AB的同侧．设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）当等边△EFG的顶点G恰好落在CD上时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H，是否存在这样的t，使△AOH是等腰三角形？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）当等边△EFG的顶点G恰好落在CD上时，OG=BC，根据直角三角形性质可得EO=4，即可求得t值；
（2）按照等边△EFG和矩形ABCD重叠部分的图形特点，分为0≤t＜4，4≤t＜6，6≤t＜10，10≤t＜14，14≤t＜18五种情况，分别写出函数关系式；
（3）存在．当△AOH是等腰三角形时，分为AH=AO=3，HA=HO，OH=OA三种情况，分别画出图形，根据特殊三角形的性质，列方程求t的值．

解答：解：（1）当等边△EFG的顶点G恰好落在CD上时，
∵点O是EF的中点
∴OG=BC=4

，
∵在△EOG中，∠EGO=30°，
∴

，
∴EO=4
∴t=4s时，等边△EFG的顶点G恰好落在CD上．

（2）①当点G在矩形ABCD内部及在边长CD上这段时间，即t在0-4s，重叠部分的面积为△EFG的面积，
设△EFG的高为h，
根据已知可得，EF=2t，h=

t，
故S_△GEF=

•EF•h=

2t•（

t）=

t²，（0≤t＜4），

②如图1，当点G在矩形ABCD外部，点E运动到点A这段时间，即t在4-6s（AO=6

），
设EG、FG分别与CD交于点M，N，△GMN的高为h₁，
则h₁=h-BC=

t-4

，
易得△GMN∽△GEF，
∴

S△GMN

S△GEF

h12

∴S_△GMN=

t²•

(

t-4

(

t)2

（t-4）²，
∴S_{四边形EMNF}=S_△GEF-S_△GMN=

t²-

（t-4）²=8

t-16

，（4≤t＜6），
③当点E到达A点时，F正好在B点，此时等边△GEF图形不再变化，保持向右平移，故重叠面积仍

为S_{五边形EMNPB}，直到点N与C点重合，如图2．
设FG与BC交于点P，EF中点为O′，△GMN中的高为h₂，连接O′G，
∵在等边△EFG中，EF=12，
∴O′F=6，GO′=6

，
∵在Rt△BPF中，∠BPF=∠O′GF=30°，
∴

，
∵BF=AE=t-6，
∴PB=

（t-6），
∵h₂=GO′-BC=6

-4

，
∴MN=4，
∴S=S_梯形EMNF-S_△BPF=

•（4+12）•4

•（t-6）•

（t-6）=-

t²+6

t+14

当点N与C点重合时，PB=BC，
即：4

（t-6），
∴t=10s，
故6≤t＜10，重叠面积为=-

t²+6

t+14

④点E继续移动，点M与点C重合前这段时间，重叠面积为S_{四边形EBCM}，如图3，
当点M与点C重合时，EB=4，AE=8，
运动总时间为8+6=14s
即10≤t＜14，
由图可知，EB=t-10，
易得等边△GCM的高为2

，
即CM=4，
故S_{四边形EBCM}=

•（4+t-10）•4

t-12

（10＜t≤14），

⑤点E继续移动，重叠面积为S_△EBQ，直到点E与点B重合，设EG与BC相交于点Q，
EB=t-14，易得EQ=

（t-14），
S_△EBC=

•（t-14）•

（t-14）=

（t-14）²，（14≤t＜18），

综上所述，S=

t2(0≤t＜6)

t-16

(4≤t＜10)

t2+6

t+14

(6≤t＜10)

t-12

(10≤t＜14)

(t-14)2(14≤t＜18)

．

（3）存在．理由如下：
在Rt△ABC中，tan∠CAB=

，
∴∠CAB=30°，

又∵∠HEO=60°，
∴∠HAE=∠AHE=30°，
∴AE=HE=6-t或t-6，
①当AH=AO=6时，（如图4），过点E作EI⊥AH于I，
则AI=

AH=3，
在Rt△AIE中，cos∠IAE=

，
即cos30°=

，
∴AE=2

，即6-t=2

或t-6=2

，
∴t=6-2

或6+2

，
②当HA=HO时，（如图5）则∠HOA=∠HAO=30°，

又∵∠HEO=60°，
∴∠EHO=90°，EO=2HE=2AE，
又∵AE+EO=6，
∴AE+2AE=6，AE=2，
即6-t=2或t-6=2，
∴t=4s或t=8s；

③当OH=OA时，则∠OHA=∠OAH=30°，

∴∠HOB=60°=∠HEB，
∴点E和点O重合，
∴AE=AO=6，
∴t=6+6=12s；
综上所述，存在5个这样的t值，使△AOH是等腰三角形，即t=6-2

或6+2

或t=4或t=8或t=12．

点评：本题考查了特殊三角形、矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的有关知识．关键是根据特殊三角形的性质，分类讨论．

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