分析 (1)根据待定系数法,可得函数解析式;
(2)根据全等三角形的判定与性质,可得MH,HN的值,根据点的坐标,可得答案.
解答 解:(1)把点A(4,0),B(1,3)代入抛物线y=ax2+bx中,
得 $\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{a+b=3}\end{array}\right.$
解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$,
∴y=-x2+4x.
(2)∵抛物线y=-x2+4x的对称轴为x=2,
又点B的坐标为(1,3),点B、C关于抛物线的对称轴对称,
∴点C的坐标为(3,3).
假设存在这样的点M、N,使得以点M为直角顶点的△CNM是等腰直角三角形.
①当M在x轴上方时,如图1
,
∵∠CMB+∠HMN=90°,∠HMN+∠HNM=90°,
∴∠CMB=∠MNH.
在△CBM和△MHN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMB=∠MNH}\\{∠CBM=∠MHN}\\{CM=CM}\end{array}\right.$,
△CBM≌△MHN(AAS),
∴BC=MH=2,BM=HN=3-2=1,
∴M(1,2),N(2,0).
②M在x轴下方时,如图2
,
∵∠CMB+∠HMN=90°,∠HMN+∠HNM=90°,
∴∠CMB=∠MNH.
在△CBM和△MHN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMB=∠MNH}\\{∠CBM=∠MHN}\\{CM=CM}\end{array}\right.$,
△CBM≌△MHN(AAS),
∴HM=CB=2,HN=MB=2+3=5,
∴M(1,-2),N(-4,0).
综上所述,存在这样的点M(1,2),N(2,0)或M(1,-2),N(-4,0)使得以点M为直角顶点的△CNM是等腰直角三角形.
点评 本题考查了二次函数综合题,解(1)的关键是待定系数法,解(2)的关键是利用全等三角形的判定与性质得出MH,HN的值,要分类讨论,以防遗漏.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{2}$π | B. | $\frac{7}{3}$π | C. | $\frac{7}{6}$π | D. | 2π |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 4个 | B. | 3个 | C. | 2个 | D. | 1个 |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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