Question

一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0，
（1）m为何实数时，方程的两个根互为相反数？
（2）m为何实数时，方程的一个根为零？
（3）是否存在实数m，使方程的两个根互为倒数？

Answer 1

分析：（1）当方程的两个根互为相反数时，x₁+x₂=

m-1

8

=0，通过解此方程可以求得m的值；
（2）当方程的一根是零时，由根与系数的关系知x₁•x₂=0，据此列出关于m的方程，通过解方程即可求得m的值；
（3）当方程的两个根互为倒数时，由根与系数的关系知x₁•x₂=1，据此列出关于m的方程，通过解方程即可求得m的值；然后通过根的判别式进行判断是否存在这样的实数m．

解答：解：（1）∵一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0的两个根互为相反数，
∴x₁+x₂=

m-1

8

=0，
解得m=1；

（2）∵一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0的一个根为零，
∴x₁•x₂=

m-7

8

=0，
解得m=7；

（3）设存在实数m，使方程8x²-（m-1）x+m-7=0的两个根互为倒数，则
x₁•x₂=

m-7

8

=1，
解得m=15；
则原方程为4x²-7x+4=0，
△=49-4×4×4=-15＜0，所以原方程无解，这与存在实数m，使方程8x²-（m-1）x+m-7=0有两个根相矛盾．故不存在这样的实数m．

点评：本题综合考查了根与系数的关系、倒数与相反数的定义以及根的判别式．一元二次方程8x²-（m-1）x+m-7=0的m的取值受根的判别式的符号的限制．