Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，P为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的动点，∠EPF=45°．
（1）若BE=$\frac{4}{3}$，求CF长．
（2）设BE=x，△PEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（3）当E、F在运动过程中，∠EFP是否可能等于75°？若可能求出x的值，若不可能请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先由等腰直角三角形的性质得出∠B=∠C，进而判断出∠1=∠2即可得出△BPE∽△CFP即可；
（2）先求出BP=CP=$\sqrt{2}$，用（1）的相似得出比例式表示出CF=$\frac{2}{x}$．用三角形的面积的和差即可建立函数关系式；
（3）先用直角三角形的性质得出PM=$\sqrt{3}$a，FP=$\sqrt{6}$a，再用相似三角形的性质得出$\frac{x}{\sqrt{2}}$=$\frac{{\sqrt{3}+1}}{{\sqrt{6}}}$即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，

∵在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，
∴∠B=∠C=45°．BC=$2\sqrt{2}$，
又∵∠1=180°-∠EPF-∠3，∠EPF=45°，∠C+∠2+∠3=180°，
∴∠1=135°-∠3，∠2=135°-∠3，
∴∠1=∠2，
∴△BPE∽△CFP．
∴$\frac{BE}{CP}=\frac{BP}{CF}$
∵P为BC的中点．
∴BP=CP=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{\frac{4}{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{CF}$，
∴CF=$\frac{3}{2}$，
（2）∵在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，P为BC的中点
∴BP=CP=$\sqrt{2}$．
由（1）知△BPE∽△CFP，则$\frac{BP}{CF}$=$\frac{BE}{CP}$，即$\frac{\sqrt{2}}{CF}=\frac{x}{\sqrt{2}}$，
解得，CF=$\frac{2}{x}$．
则S_△PEF=S_△ABC-S_△BPE-S_△PFC-S_△AEF
=2-$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$x×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{x}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$×（2-x）×（2-$\frac{2}{x}$）
=-1+$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{x}$，
即y=-1+$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{x}$（1≤x≤2）；
（3）当E、F在运动过程中，∠EFP可能等于75°．理由如下：
如图2，

过点F作FM⊥EP于点M．
设EM=a．
在Rt△EMF中，FM=$\sqrt{3}$a．
在Rt△FMP中，得到PM=$\sqrt{3}$a，FP=$\sqrt{6}$a，
则$\frac{EP}{FP}$=$\frac{{\sqrt{3}a+a}}{{\sqrt{6}a}}$=$\frac{{\sqrt{3}+1}}{{\sqrt{6}}}$，
∵△BPE∽△CFP，
∴$\frac{BE}{CP}=\frac{EP}{FP}$
∴$\frac{x}{\sqrt{2}}$=$\frac{{\sqrt{3}+1}}{{\sqrt{6}}}$，
∴x=$1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∵1≤x≤2，
∴x=$1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}$符合题意，
∴当E、F在运动过程中，∠EFP可能等于75°．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了三角形的内角和，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，解本题的关键是△BPE∽△CFP，是一道比较简单的中考常考题．