Question

7．如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合），在 AE 同侧分别作正△ABC 和正△CDE，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连接 PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中正确的结论的个数是（　　）

• A． 2 个
• B． 3 个
• C． 4 个
• D． 5 个

Answer 1

分析 ①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，可知①正确．
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，推出△CDP≌△CEQ（ASA），推出CP=CQ，∠CPQ=∠CQP=60°，推出∠QPC=∠BCA，可知②正确
③由△CDP≌△CEQ，推出DP=QE，由△ADC≌△BEC推出AD=BE，推出AD-DP=BE-QE，即AP=BQ，可知③正确．
④由DP=EQ，DE＞QE，且DP=QE，推出DE＞DP，可知④错误．
⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．

解答 解：①∵正△ABC和正△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD，∠BCE=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，（故①正确）；

②又∵CD=CE，∠DCP=∠ECQ=60°，∠ADC=∠BEC，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴CP=CQ，
∴∠CPQ=∠CQP=60°，
∴∠QPC=∠BCA，
∴PQ∥AE，（故②正确）；

③∵△CDP≌△CEQ，
∴DP=QE，
∵△ADC≌△BEC
∴AD=BE，
∴AD-DP=BE-QE，
∴AP=BQ，（故③正确）；

④∵DP=EQ，
∵DE＞QE，且DP=QE，
∴DE＞DP，（故③错误）；

⑤∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°，（故⑤正确）．
∴正确的有：①②③⑤．
故选C．

点评 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，正确寻找三角形全等是解答本题的关键，属于中考常考题型．