Question

2．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB=30°，AB=BO，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象经过点A，若S_△ABO=$\sqrt{3}$，则k的值为-3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过点A作AD⊥x轴于点D，由∠AOB=30°可得出$\frac{OD}{AD}$=$\sqrt{3}$，再根据BA=BO可得出∠ABD=60°，由此可得出$\frac{BD}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，根据线段间的关系即可得出线段OB、OD间的比例，结合反比例函数系数k的几何意义以及S_△ABO=$\sqrt{3}$即可得出结论．

解答 解：过点A作AD⊥x轴于点D，如图所示．

∵∠AOB=30°，AD⊥OD，
∴$\frac{OD}{AD}$=cot∠AOB=$\sqrt{3}$，
∵∠AOB=30°，AB=BO，
∴∠AOB=∠BAO=30°，
∴∠ABD=60°，
∴$\frac{BD}{AD}$=cot∠ABD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵OB=OD-BD，
∴$\frac{OB}{OD}=\frac{OD-BD}{OD}=\frac{（\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}）AD}{\sqrt{3}AD}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△ABO}}{{S}_{△ADO}}$=$\frac{2}{3}$，
∵S_△ABO=$\sqrt{3}$，
∴S_△ADO=$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k=-3$\sqrt{3}$
故答案为：-3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义、特殊角的三角函数值以及比例的计算，解题的关键是根据线段间的关系找出OB、OD间的比例．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据特殊角的三角函数值找出线段间的关系是关键．