Question

（2013•槐荫区三模）如图，已知直线l的解析式为y=-x+6，直线l与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线n从原点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l，当直线n与直线l重合时，运动结束．直线n与x轴，y轴分别相交于C、D两点，以线段CD的中点P为圆心、CD为直径，在CD上方作半圆，半圆面积为S．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当t为何值时，半圆与直线l相切？
（3）直线n在运动过程中，
①求S与t的函数关系式；
②是否存在这样的t值，使得半圆面积S=

π

4

S_梯形ABCD？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据一次函数解析式，求出A、B两点坐标即可；
（2）分别过点D、P作DE⊥AB于点E，PF⊥AB于点F，利用当PF=PD时，半圆与l相切，求出即可；
（3）①由OA=OB=6，得出△AOB是等腰直角三角形，进而得出PD的长，即可得出答案；
②S_梯形ABCD=S_△AOB-S_△COD以及S=

π

4

S_梯形ABCD，求出即可．

解答：解：（1）∵y=-x+6，
令y=0，得0=-x+6，
解得：x=6．
∴A（6，0）．
令x=0，得y=6，
∴B（0，6）；

（2）分别过点D、P作DE⊥AB于点E，PF⊥AB于点F．
AD=OA-OD=6-t，
在Rt△ADE中，
sin∠EAD=

DE

AD

，
DE=

2

2

•(6-t)，
∴PF=DE=

2

2

•(6-t)．
当PF=PD时，半圆与l相切．
即

2

2

（6-t）=

2

2

t，
解得：t=3．
当t=3时，半圆与l相切；

（3）①∵OA=OB=6，
∴△AOB是等腰直角三角形．
∵n∥l，
∴∠CDO=∠BAO=45°，
∴△COD为等腰直角三角形，
OD=OC=t．
CD=

OC2+OD2

=

t2+t2

=

2

t，
∴PD=

1

2

CD=

2

2

t，

1

2

πPD²=

1

2

π（

2

2

t）²=

1

4

πt²，
∴S=

π

4

t2(0＜t≤6)；
②存在．
∵S_梯形ABCD=S_△AOB-S_△COD=

1

2

×6×6-

1

2

t×t=18-

1

2

t²，
S=

1

4

πt2．
若S=

π

4

S_梯形ABCD，则

1

4

πt2=

π

4

(18-

1

2

t2)，
∴t²=12，
解得：t=2

3

＜6，
∴存在t=2

3

，使得S=

π

4

S_梯形ABCD．

点评：此题主要考查了圆的综合应用以及等腰直角三角形的性质和切线的判定等知识，根据锐角三角函数关系得出PD的长是解题关键．