Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，若AD+BC=4

2

cm．
求：（1）对角线AC的长；
（2）梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）过点D作AC的平行线DE，与BC的延长线交于E点，利用梯形的性质平移对角线AC，由题意可知，两条对角线与上、下底的和构成等腰直角三角形，已知斜边BE=AD+BC=4

2

，可求直角边DE的长，即AC长；
（2）当四边形对角线互相垂直时，四边形的面积等于两条对角线积的一半，由此进行计算．

解答：解：过点D作AC的平行线DE，与BC的延长线交于E点．
（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AC∥DE，
∴四边形ACED为平行四边形，AC=DE，AD=CE，
∵AB=CD，
∴梯形ABCD为等腰梯形，
∴AC=BD，
∴BD=DE，
又AC⊥BD，
∴∠BOC=90°
∵AC∥DE
∠BDE=90°，
∵BE=BC+CE=BC+AD=4

2

，
根据勾股定理得：BD²+DE²=BE²，
即2BD²=（4

2

）²，
解得BD=4，
即AC=4cm；

（2）∵AC⊥BD，AC=BD=4，
∴S_梯形ABCD=

1

2

×AC×BD=8cm²．

点评：本题考查了梯形常用作辅助线的方法：平移一条对角线，使梯形的两条对角线，上、下底的和围成三角形，再根据梯形其它条件解题．