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(2013•常熟市模拟)如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)与双曲线y=
k
x
相交于点A,B.已知点A的坐标为(1,4),点B在第三象限内,连结AB交y轴于点E,且S△BOE=
2
3
S△AOB(O为坐标原点).
(1)求此抛物线的函数关系式;
(2)过点A作直线平行于x轴交抛物线于另一点C.问在y轴上是否存在点P,使△POC与△OBE相似,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请简要说明理由;
(3)抛物线与x轴的负半轴交于点D,过点B作直线l∥y轴,点Q在直线l上运动,且点Q的纵坐标为t,试探索:当S△AOB<S△QOD<S△BOC时,求t的取值范围.
分析:(1)首先求得反比例函数的解析式,然后求得点B的坐标,利用待定系数法求得抛物线的解析式即可;
(2)根据△POC与△OBE相似,得到OP=4或8,从而求得点P的坐标即可;
(3)求得点Q、点E、点D的坐标,从而表示出S△AOB=3,S△QOD=
3
2
|t|
,S△BOC=8,得到3<
3
2
|t|
<8,从而求得t的取值范围;
解答:解:(1)点A(1,4)在双曲线y=
k
x
上,得k=4
∵S△BOE=
2
3
S△AOB
∴|xA|:|xB|=1:2
∴xB=-2,
∵点B在双曲线y=
k
x
上,
∴点B的坐标为(-2,-2)
∵点A,B都在y=ax2+bx(a>0)上,
a+b=4
4a-2b=-2

解得:
a=1
b=3

所求的二次函数的解析式为:y=x2+3x;

(2)∵点C坐标为(-4,4),若点P在y轴的正半轴,则∠POC=45°,不符合题意.
所以点P在y轴的负半轴上,则∠POC=45°
此时有∠POC=∠BOE=135°,
所以
OP
OC
=
OE
OB
OP
OC
=
OB
OE
时,
△POC与△OBE相似
∴OP=4或8.
所以点P的坐标为(0,-4)或(0,-8);

(3)设点Q的坐标为(-2,t)
∵直线AB经过点A(1,4),B(-2,-2)
∴直线AB的函数关系式为y=2x+2
∴E(0,2)
由y=x2+3x可知点D(-3,0).
∵S△AOB=3,S△QOD=
3
2
|t|
,S△BOC=8
∴3<
3
2
|t|
<8
当t≥0时,2<t<
16
3

当t<0时,-
16
3
<t<-2
综上:2<t<
16
3
或-
16
3
<t<-2
点评:此题考查了二次函数的综合题目,第一问的解答关键是掌握待定系数法的运用,求解第二问需要我们会根据相似三角形的性质求线段的长,涉及到了分类讨论的数学思想,此类综合题目,难度较大,注意逐步分析.
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BC
BC
边上;
(2)求正方形点C坐标;
(3)问是否存在t(0≤t≤10)值,使△OPQ的面积最大?若存在,求出t值;若不存在,说明理由.

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