Question

4．已知抛物线y=x²+bx+c（b，c 为常数）与x轴交于点A（-1，0），点 B（3，0），与y轴交于点C，其顶点为D，点P（不与点 A，B 重合）为抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线PA，PB分别于抛物线的对称轴交于M，N 两点，设M，N 两点的纵坐标分别为y₁，y₂，求y₁+y₂的值；
（3）连接BC，BD，当∠PAB=∠CBD时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A（-1，0），B（3，0）代入抛物线的解析式求得b、c的值即可；
（2）先求得抛物线的对称轴，设点P的坐标为（a，a²-2a-3，然后依据待定系数法求得PA、PB的解析式用含a的式子表示，然后将x=1代入直线的解析式可求得y₁，y₂的值，从而可求得答案；
（3）如图所示：先求得点D和点C的坐标，然后依据两点间的距离公式求得BC、DC、BD的值，接下来，依据勾股定理的逆定理可证明△BCD为直角三角形，于是得到tan∠CBD=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{1}{3}$．设点P的坐标为（a，a²-2a-3），则PE=|a²-2a-3|，AE=1+a．然后依据tan∠PAB=$\frac{1}{3}$列出关于a的方程求解即可．

解答 解：（1）将A（-1，0），B（3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=-2，c=-3．
抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
（2）由x=-$\frac{b}{2a}$得；抛物线的对称轴为x=1．
设点P的坐标为（a，a²-2a-3）．
设直线PA的解析式为y=kx+b．
将点P和点A的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{ak+b={a}^{2}-2a-3}\end{array}\right.$，解得：k=a-3，b=a-3．
∴直线PA的解析式为y=（a-3）x+a-3．
将x=1代入得：y₁=2a-6．
设直线PB的解析式为y=k₁x+b₁．
将点P和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{ak+b={a}^{2}-2a-3}\end{array}\right.$，解得：k=a+1，b=-3a-3．
∴直线PB的解析式为y=（a+1）x-3a-3．
将x=1代入得：y₂=-2a-2．
∴y₁+y₂=-8．
（3）如图所示：

∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）．
∵将x=0代入抛物线的解析式得；y=-3，
∴C（0，-3）．
由两点间的距离公式可知：BC=3$\sqrt{2}$，DC=$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$．
∵BC²+DC²=BD²，
∴△BCD为直角三角形．
∴tan∠CBD=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{1}{3}$．
设点P的坐标为（a，a²-2a-3）．
∵∠PAB=∠CBD，
∴$\frac{{a}^{2}-2a-3}{a+1}$=$±\frac{1}{3}$．
整理得：a-3=$±\frac{1}{3}$．
解得：a=3$\frac{1}{3}$或a=2$\frac{2}{3}$．
∴当a=2$\frac{2}{3}$时，a+1=$\frac{11}{3}$，则a²-2a-3=$-\frac{1}{3}×\frac{11}{3}$=-$\frac{11}{9}$．
∴点P的坐标为（$\frac{8}{3}$，-$\frac{11}{9}$）．
当a=$\frac{10}{3}$时，a+1=$\frac{13}{3}$，则a²-2a-3=$\frac{1}{3}×$$\frac{13}{3}$=$\frac{13}{9}$．
∴点P′的坐标为（$\frac{10}{3}$，$\frac{13}{9}$）．
综上所述，点P的坐标为（$\frac{8}{3}$，-$\frac{11}{9}$）或（$\frac{10}{3}$，$\frac{13}{9}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式、两点间的距离公式，锐角三角函数的定义，依据锐角三角函数的定理列出关于a的方程是解题的关键．