Question

已知直线ln：y=-

n+1

n

x+

1

n

（n是正整数）．当n=1时，直线l₁：y=-2x+1与x轴和y轴分别交于点A₁和B₁，设△A₁OB₁（O是平面直角坐标系的原点）的面积为s₁；当n=2时，直线l2：y=-

3

2

x+

1

2

与x轴和y轴分别交于点A₂和B₂，设△A₂OB₂的面积为s₂，…，依此类推，直线l_n与x轴和y轴分别交于点A_n和B_n，设△A_nOB_n的面积为S_n．
（1）求△A₁OB₁的面积s₁；
（2）求s₁+s₂+s₃+…+s₂₀₀₈的值．

Answer 1

分析：（1）求出直线与x，y轴的交点坐标，即可得到△A₁OB₁的两直角边的长，即可求得面积；
（2）求出s₂，s₃，根据s₁，s₂，s₃可以得到规律进一步求得s_n，即可用n表示出求s₁+s₂+s₃+…+s₂₀₀₈，然后化简求值即可．

解答：解：（1）当n=1时，直线l₁：y=-2x+1与x轴和y轴的交点是A₁（

1

2

，0）和B₁（0，1）（1分）
所以OA₁=

1

2

，OB₁=1，
∴s₁=

1

4

（3分）
（2）当n=2时，直线l2：y=-

3

2

x+

1

2

与x轴和y轴的交点是A₂（

1

3

，0）和B₂（0，

1

2

）
所以OA₂=

1

3

，OB₂=

1

2

，
∴s₂=

1

2

×

1

3

×

1

2

=

1

2

×(

1

2

-

1

3

)（4分）
当n=3时，直线l3：y3=-

4

3

x+

1

3

与x轴和y轴的交点是A₃（

1

4

，0）和B₃（0，

1

3

）
所以OA₃=

1

4

，OB₃=

1

3

，
∴s₃=

1

2

×

1

4

×

1

3

=

1

2

(

1

3

-

1

4

)（5分）
依此类推，s_n=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)（6分）
∴s₁+s₂+s₃+…+s₂₀₀₈=

1

2

(

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

2008

-

1

2009

)（7分）
∴s₁+s₂+s₃+…+s₂₀₀₈
=

1

2

(

1

2

+

1

2

-

1

2009

)
=

1

2

×

2008

2009

=

1004

2009

．（8分）

点评：本题考查了一次函数与三角形的面积的综合应用，正确根据s₁，s₂，s₃的值猜想规律，得到s_n是解题的关键．