Question

6．如图，抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，M为抛物线的顶点，试在直线BC上找一点N，使△MND的周长最小，求此时的N点坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线是上找一点P，使△PBD中有一个角为45度，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A、C的坐标代入抛物线的解析式中，然后解方程组即可．
（2）首先由（1）的抛物线解析式确定点D的坐标，此时可以看出CD平行于x轴，由于OB=OC，即△OCB是等腰直角三角形，所以∠OCB=∠DCB=45°，因此点D关于直线BC的对称点恰好在y轴上，将点C向下平移CD长个单位就能求出这个对称点的坐标，当点M、点E和点N在一条直线上时，△MND的周长最小，据此求出N点坐标；
（3）分三种情况进行讨论：第一种，∠PDB=45°；第二种，∠PBD=45°；第三种，∠BPD=45°．

解答 解：（1）依题意，有：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b-4a=0}\\{-4a=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
即抛物线的解析式：y=-x²+3x+4．
（2）如图1所示，

将点D（m，m+1）代入y=-x²+3x+4中，解得：m₁=-1（舍），m₂=3，
∴D（3，4），
∵抛物线顶点坐标M（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），
∴CD∥x轴；
由B（4，0）、C（0，4）可得：OB=OC=4，即△OBC是等腰直角三角形，得：∠OCB=∠DCB=45°；
设点D关于直线BC的对称点为点E，则点E在y轴上，且CD=CE=3，OE=OC-CE=1，
则点D关于直线BC的对称点的坐标为（0，1），
当点M、点E和点N在一条直线上时，△MND的周长最小，
设直线NE的解析式为y=ax+1，且经过M（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），
将M坐标代入得：$\frac{25}{4}$=$\frac{3}{2}$a+1，
解得：a=$\frac{7}{2}$，
直线NE的解析式为y=$\frac{7}{2}$x+1，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{7}{2}x+1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{3}}\\{y=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
即N点坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{10}{3}$）；
（3）①若∠PDB=45°，如图2，

过点D作DG⊥AB于点G，则BG=1，
在y轴负半轴上截取OF=BG=1，
∵BO=DG=4，
∴△BOF≌△DGB，
∴BF=BD，∠FBO=∠GDB，
∵∠GDB+∠DBG=90°，
∴∠FBO+∠DBG=90°，
∴FB⊥BD，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∴∠FDB=45°，
故延长DF交抛物线于点P，
由F、D两点坐标可求得DF的直线解析式为：$y=\frac{5}{3}x-1$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{5}{3}x-1}\\{y=-{x}^{2}+3x+4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{5}{3}}\\{y=-\frac{34}{9}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$（舍去）
∴P（$-\frac{5}{3}$，$-\frac{34}{9}$）；
②若∠PBD=45°，如图3，

设PB与y轴交于点H，DE与BC交于点I，
∵D（3，4），E（0，1），
∴I（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），
∵ED=3$\sqrt{2}$，
∴ID=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∵BC=4$\sqrt{2}$，
∴BI=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∵∠OBC=∠PBD=45°，
∴∠HBO=∠IBD，
∴$\frac{OH}{OB}=\frac{ID}{IB}=\frac{3}{5}$，
∴$OH=\frac{12}{5}$，
∴H（0，$\frac{12}{5}$）
∴直线BH的解析式为：$y=-\frac{3}{5}x+\frac{12}{5}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{5}x+\frac{12}{5}}\\{y=-{x}^{2}+3x+4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{5}}\\{y=\frac{66}{25}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍去），
∴P（$-\frac{2}{5}$，$\frac{66}{25}$）；
③若∠BPD=45°，如图4，

∵△CED是等腰直角三角形，BC⊥ED，
∴∠BCD=45°，
即C点就是满足要求的P点；
∵CD解析式为y=-x+1，A（-1，0），
∴A点在直线DE上，
∴∠DAB=45°，
即A也是满足要求的P点；
综上所述，满足要求的P点的坐标为（$-\frac{5}{3}$，$-\frac{34}{9}$），（$-\frac{2}{5}$，$\frac{66}{25}$），（0，4），（-1，0）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、对称法求线段最小值、待定系数法求一次函数解析式、解方程组、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等重要知识点，综合性很强，难度较大．解决第（2）问的关键是找到D点关于BC的对称点；对于第（3）问，注意分类讨论，不要漏解．