Question

【题目】阅读下列材料，完成相应任务：

折纸三等分角 三等分角问题（trisection of an angle）是二千四百年前，古希腊人提出的几何三大作图问题之一（三等分任意角、化圆为方、倍立方），即用圆规与直尺（没有刻度，只能做直线的尺子）把一任意角三等分，这问题曾吸引着许多人去研究，但无一成功．1837年法国数学家凡齐尔（1814～1848）运用代数方法证明了，仅用尺规不可鞥呢三等分角． 如果作图工具没有限制，将条件放宽，将任意角三等分是可以解决的．下面介绍一种折纸三等分任意锐角的方法： ①在正方形纸片上折出任意∠SBC，将正方形ABCD对折，折痕为记为MN，再将矩形MBCN对折，折痕记为EF，得到图1； ②翻折左下角使点B与EF上的点T重合，点M与SB上的点P重合，点E对折后的对应点记为Q，折痕为记为GH，得到图2； ③折出射线BQ，BT，得到图3，则射线BQ，BT就是∠SBC的三等分线． 下面是证明BQ，BT是∠SBC三等分线的部分过程： 证明：过T作TK⊥BC，垂足为K，则四边形EBKT为矩形 根据折叠，得EB=QT，∠EBT=∠QTB，BT=TB ∴△EBT≌△QTB， ∴∠BQT=∠TEB=90°， ∴BQ⊥PT …

学习任务：
（1）将剩余部分的证明过程补充完整；
（2）若将图1中的点S与点D重合，重复材料中的操作过程得到图4，请利用图4，直接写出tan15°=（不必化简）

Answer 1

【答案】
（1）解：剩余的证明过程如下：

∵ME=PQ，EB=QT，ME=EB，

∴PQ=QT，

∴BP=BT，

∴∠PBQ=∠TBQ，

∵TK=BE，

∴TK=TQ，

∴∠QBT=∠TBC，

∴射线BQ，BT是∠SBC的三等分线

（2）2﹣
【解析】解：（2）同（1）可知：射线BQ，BT是∠DBC的三等分线，

过T作TJ⊥BC，垂足为J，如图所示：

则∠TBJ= ∠DBC，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠DBC=45°，

∴∠TBJ=15°，

由折叠性质得：BH=HT，

∴∠TBJ=∠HTB=15°，

∴∠THJ=30°，

设BC=4，则BE=1，

∵将正方形ABCD对折，折痕为记为MN，再将矩形MBCN对折，折痕记为EF，TJ⊥BC，

∴四边形EBJT为矩形，

∴TJ=BE=1，

在Rt△THJ中，∠THJ=30°，

∴HT=2TJ=2，HJ=cot30°TJ= ×1= ，

∴BJ=BH+HJ=HT+HJ=2+ ，tan∠TBJ= = =2﹣ ，

即tan15°=2﹣ ；

所以答案是：2﹣ ．

【考点精析】掌握翻折变换（折叠问题）和锐角三角函数的定义是解答本题的根本，需要知道折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等；锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数．